函数的定义 #
函数是两个非空数集之间特定的对应关系. 设数集 $A$, $B\neq \varnothing$, 若对 $A$ 中的任意元素 $a$, 按确定的对应法则 $f$, 有 $B$ 中的唯一元素 $b$ 与 $a$ 对应, 则称 $f$ 是定义在 $A$ 上的函数 (function), 通常记成 \[ y= f(x),\quad x\in A.\] 有时也记成 $f\colon A\to B$, 或 \[ x\in A\xrightarrow{f} y\in B.\] 此时, 称 $x$ 为自变量, $y$ 为因变量 (也称 $y$ 是 $x$ 的函数), 并称 $A$ 为 $f$ 的定义域 (domain), \[ f(A)= \{f(x)\mid x\in A\}\] 为 $f$ 的值域 (range). 显然 $f(A)\subseteq B$, 即定义中的数集 $B$ 不一定是为值域. 定义在数集 $A$ 上的函数 $f$ 的图象为点集 \[ \{(x,y)\mid x\in A,y= f(x)\}.\]
定义域、对应法则和值域也称为函数的三要素 (前两者决定了第三者). 由定义, 函数是数集之间的映射, 不允许一对多, 但可以多对一 (如 $y=x^2$). 高中数学只考虑定义域和值域均为 $\mathbf{R}$ 或其子集的情形. 有时只考虑对应法则, 可将函数 $y= f(x)$ 简记为 $f(x)$, 或干脆写成 $f$. 例如, 设 $x\in \mathbf{R}$, 则 \[ y= x^2+2x,\quad f(x)= x^2+2x\] 表示相同的函数.
函数的常见表示法有列表法 (作图时常用)、图象法、解析法 (用具体式子表示对应法则, 高中常用). 若函数 $f$ 在其定义域的不同部分有不同的表达式 (解析式), 则称其为分段函数 (piecewise function), 如 \[ f(x)= \begin{cases} x^2,& x\geqslant 0,\\ x+1,& x< 0. \end{cases}\] 有的分段函数也可用一个式子表示, 如 \[ f(x)= \begin{cases} x,& x\geqslant 0,\\ -x,& x< 0\end{cases} =|x|.\]
这里的函数定义的基础是定义域和对应法则. 对某两个函数, 只要这两者分别一致, 它们就是相同的函数, 无需在意所用字母是否一致. 例如, 函数 \[\begin{aligned} y&= f(x)= x^3+1,\quad x\in [1,2],\\ q&= g(p)= p^3+1,\quad p\in [1,2] \end{aligned}\] 都定义在 $[1,2]$ 上且对应法则是“计算立方后加 $1$”, 则 $f$ 与 $g$ 是相同的函数, 并记成 $f=g$. 将函数的自变量、因变量、函数名 (上述 $f$, $g$) 分别用 $x$, $y$, $f$ 来表示只是常用的记法. 在判断对应法则时应注意, 某些对应法则有多种不同的表示方法, 如 \[ y= |x|= \sqrt{x^2}.\]
判断下列各组函数中的两个函数是否相同:
(1) $f(x)=\dfrac{x}x$, $g(x)=\dfrac1{x^0}$; (2) $f(x)=\sqrt{-x^3}$, $g(x)=x\sqrt{x}$;
(3) $f(x)=x$, $g(x)=\sqrt{x^2}$; (4) $f(x)=\sqrt{x^3}$, $g(x)=x\sqrt{x}$.
(1) $f(x)$ 与 $g(x)$ 定义域均为 $\{x\mid x\neq 0\}$, 且 \[ f(x)=1,\quad g(x)=\frac11=1,\] 所以 $f(x)=g(x)$.
(2) 对 $f(x)$, $-x^3\geqslant 0$, 解得 $x\leqslant 0$. 对 $g(x)$, $x\geqslant 0$. 所以 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的定义域不同, 两者为为不同的函数.
(3) $f(x)$ 与 $g(x)$ 的定义域都是 $\mathbf{R}$, 但是 $g(x)=|x|\neq f(x)$.
(4) $f(x)$ 与 $g(x)$ 的定义域都是 $[0,+\infty)$, 而 \[ f(x)=\sqrt{x^2\cdot x}=|x|\sqrt{x}\neq g(x),\] 所以两者为不同的函数.
关于绝对值的变形, 参看绝对值不等式. 类似的结论还有 \[\sqrt[3]{x^3}=x\ (\text{没有绝对值符号}),\quad \sqrt[4]{x^4}=|x|.\]
判断下列各组函数是否表示相同的函数:
(1) $f(x)=\sqrt{1-x^2}$, $g(x)=1-|x|$, $x\in [-1,1]$;
(2) $f(x)= \sqrt{x+1}\cdot\sqrt{x-1}$, $g(x)=\sqrt{x^2-1}$.
参考答案
(1) 由 $f\Big(\dfrac12\Big)= \dfrac{\sqrt3}2$, $g\Big(\dfrac12\Big)= \dfrac12$ 知 $f(x)\neq g(x)$.
(2) $f(x)$ 定义域为 $[1,+\infty)$, $g(x)$ 定义域为 $(-\infty,-1]\cup [1,+\infty)$, 故 $f(x)\neq g(x)$.
(1) 若函数 $f(x)=x-x^2$, 计算 $f(1)$, $f(x+1)-f(x)$;
(2) 若函数 $f(x)=\sqrt{x-1}$, 解方程 $f(a^2)=3$.
(1) 直接代入计算知, $f(1)= 0$, \[ f(x+1)=(x+1)-(x+1)^2=-x-x^2,\] 则 $f(x+1)-f(x)=-2x$.
(2) 由题意, $\sqrt{a^2-1}=3$, 解得 $a= \pm\sqrt{10}$.
(1) 已知函数 $f(x)=\dfrac{x+a}{x-6}$ 的图象过点 $P(2,-1)$, 求 $f(1)$ 的值;
(2) 已知函数 $f(x)=\begin{cases} x^2+1, & x\leqslant 1,\\ -2x^2+x, & x>1, \end{cases}$ 求 $f\big(f(1)\big)$ 的值.
参考答案
(1) $\dfrac{2+a}{2-6}=-1$, 则 $a=2$, $f(1)=-\dfrac35$.
(2) $f\big(f(1)\big)=f(2)=-6$.
函数的定义域 #
若无特殊说明, 函数的定义域默认是使对应法则有意义的自变量的取值范围, 这时也常常省略定义域. 现阶段常见的表达式对其中的变量限制如下: \[\begin{aligned} \text{二次根式 $\sqrt{x}$}&\colon \text{被开方数非负, 即 $x\geqslant 0$;}\\ \text{分式 $\dfrac1{x}$}&\colon \text{分母不为零, 即 $x\neq 0$;}\\ \text{零次式 $x^0$}&\colon \text{底数不为零, 即 $x\neq 0$,} \end{aligned}\] 其中的零次式 $x^0$ 可以定义为 $\dfrac{x}x$, 所以需要限制 $x\neq 0$. 这些限制可以组合使用, 如对 $\dfrac1{\sqrt{x}}$ 应限制 \[\begin{cases} \sqrt{x}\neq 0 & (\text{分母不为零}),\\ x\geqslant 0 & (\text{被开方数非负}), \end{cases}\quad\text{解得}\quad x>0.\] 类似地, 对 $\sqrt{\dfrac1x}$, 同样应限制 $x>0$.
求下列函数的定义域:
(1) $f(x)=\dfrac{\sqrt{x-3}}{|x+1|-5}$; (2) $f(x)=\dfrac{(x+1)^0}{|x|-x}$;
(3) $f(x)=\dfrac1{1+\dfrac2x}$.
(1) 由题意, $x$ 应满足 \[\left\{\!\!\begin{array}{l} x-3\geqslant 0,\\ |x+1|-5\neq 0, \end{array}\right.\Rightarrow x\geqslant 3\ \text{且}\ x\neq4,\] 所求定义域为 $[3,4)\cup(4,+\infty)$.
(2) 由题意, $x$ 应满足 \[\left\{\!\!\begin{array}{l} x+1\neq 0,\\ |x|-x\neq 0, \end{array}\right.\Rightarrow x< 0\ \text{且}\ x\neq -1,\] 所求定义域为 $(-\infty,-1)\cup(-1,0)$.
(3) 由题意, $x$ 应满足 \[\left\{\!\!\begin{array}{l} 1+\dfrac2x\neq 0,\\ x\neq0, \end{array}\right.\Rightarrow x\neq 0\ \text{且}\ x\neq -2,\] 所求定义域为 $(-\infty,-2)\cup (-2,0)\cup (0,+\infty)$.
上例的 (2) 中, 由 $|x|-x\neq 0$ 可得 $x< 0$, 因为此时 $|x|\neq x$ 只在 $x< 0$ 时才成立.
有些定义域问题, 需要根据题意对自变量增加更多的限制, 例如三角形三边中任意两边之和大于第三边; 在实际问题中, 人数只能为非负整数, 等等.
在求抽象函数 (无具体解析式) 的定义域时, 需要关注当前函数的对应法则, 并注意定义域是自变量 (通常为 $x$) 的取值范围. 例如, 函数 $f(x)$ 定义在区间 $(0,2)$ 上, 指的是将自变量记为 $x$ (即 $x\in(0,2)$), 且对应法则 $f$ 作用于 $x$, 即 $f$ 只在 $(0,2)$ 上起作用. 此时考虑函数 $f(2x)$, 当前作用在自变量 $x$ 上的对应法则是 \[ x\xrightarrow{\times 2} 2x\xrightarrow{f} f(2x),\] 即 “先乘 $2$ 再利用 $f$ 来对应”, 与原先的 $f$ 不同. 因为对应法则 $f$ 只作用于区间 $(0,2)$, 所以迫使 \[ 2x\in (0,2)\Rightarrow x\in (0,1),\] 表明函数 $f(2x)$ 的定义域 (即 $x$ 的取值范围) 为 $(0,1)$. 这个例子中, 函数 $f(x)$ 与 $f(2x)$ 的对应法则不同, 使得自变量 $x$ 的取值范围也发生了变化, 唯一不变的是对应法则 $f$ 的作用范围.
再如, 函数 $g(x+1)$ 定义在区间 $(0,2)$ 上的, 指的是将自变量记为 $x$ (即 $x\in(0,2)$), 且对应法则 $g$ 作用于 $x+1$. 由 $x+1\in(1,3)$ 知, $g$ 只在 $(1,3)$ 上起作用, 表明 $g(x)$ 的定义域为 $(1,3)$ (此时 $g$ 作用在 $x$ 上).
以上两个例子说明, 关于 $x$ 的函数 $f(ax+b)$ 的对应法则并非 $f$, 而是 \[ x\xrightarrow{\times a} ax \xrightarrow{+b} ax+b \xrightarrow{f} f(ax+b).\] 但是对应法则 $f$ 的作用范围不变, 即 $f(x)$ 中的 $x$ 与 $f(ax+b)$ 中的 $ax+b$ 都在同一取值范围内, 定义域则是当前表达式中 $x$ 的取值范围. 更复杂的例子也可以类似地分析. 解题时应充分利用 $f$ 的取值范围不变性, 并适当简化解题过程.
(1) 已知函数 $f(x)$ 的定义域为 $[0,1)$, 求 $f(2x)$ 的定义域和 $f(x+3)$ 的定义域;
(2) 已知函数 $f(2x)$ 的定义域为 $[0,1)$, 求 $f(x)$ 的定义域和 $f(x+3)$ 的定义域.
(1) 对 $f(2x)$, 由已知, \[ 2x\in[0,1)\Rightarrow x\in\biggl[0,\dfrac12\biggr),\] 即 $f(x)$ 的定义域为 $\biggl[0,\dfrac12\biggr)$. 而对 $f(x+3)$, 有 \[ x+3\in[0,1)\Rightarrow x\in[-3,-2),\] 即 $f(x+3)$ 的定义域为 $[-3,-2)$.
(2) 对 $f(2x)$, 由已知, \[ x\in[0,1)\Rightarrow 2x\in[0,2),\] 即 $f(x)$ 的定义域为 $[0,2)$. 而对 $f(x+3)$, 有 \[ x+3\in[0,2)\Rightarrow x\in[-3,-1),\] 即 $f(x+3)$ 的定义域为 $[-3,-1)$.
已知函数 $f(x+3)$ 的定义域为 $[0,1)$, 求 $f(2x)$ 和 $f(\sqrt{x})$ 各自的定义域.
参考答案
对 $f(x+3)$, 由已知, \[ x\in[0,1)\Rightarrow x+3\in[3,4),\] 即 $f(x)$ 的定义域为 $[3,4)$. 对 $f(2x)$, 有 \[ 2x\in[3,4)\Rightarrow x\in\biggl[\dfrac32,2\biggr),\] 即 $f(2x)$ 的定义域为 $\biggl[\dfrac32,2\biggr)$. 同理可得, $f(\sqrt{x})$ 的定义域为 $[9,16)$.
分段函数 #
分段函数相关的问题, 分段考虑即可.
已知函数 $f(x)=\begin{cases} 2x+1, & x\geqslant 0,\\ 3x^2, & x< 0 \end{cases}$ 且 $f(x_0)=3$, 求实数 $x_0$ 的值.
题中没有给 $x_0$ 的取值范围, 所以需要分类讨论.
(1) 若 $x_0\geqslant 0$, 则 $f(x_0)=3$ 化为 $2x_0+1=3$, 解得 $x_0=1$.
(2) 若 $x_0< 0$, 则 $f(x_0)=3$ 化为 $3x_0^2=3$, 解得 $x_0=\pm1$. 结合前提 $x_0< 0$ 知, $x=-1$.
综上所述, $x_0=1$ 或 $-1$.
求函数 $f(x)=\begin{cases} x^2-x+1, & x< 1,\\ \dfrac1x, & x\geqslant 1 \end{cases}$ 的值域.
(1) 当 $x< 1$ 时, $f(x)=x^2-x+1$ 为二次函数, 对称轴为 $x=\dfrac12$, 所以此时 \[ f(x)\in\biggl[f\biggl(\dfrac12\biggr),+\infty\biggr) = \biggl[\dfrac34,+\infty\biggr).\]
(2) 当 $x\geqslant 1$ 时, $f(x)=\dfrac1x$ 为反比例函数, 由其图象知, 此时 $f(x)\in(0,f(1)]= (0,1]$.
综上所述, $f(x)$ 的值域为 $\biggl[\dfrac34,+\infty\biggr)\cup (0,1]= (0,+\infty)$.
反比例函数 $f(x)= \dfrac1x$ ($x\neq 0$) 的特征为: (1) 图象在 $(-\infty,0)$ 和 $(0,+\infty)$ 均单调递减; (2) 图象以 $x$ 轴和 $y$ 轴为两条渐近线; (3) 值域为 $(-\infty,0)\cup (0,+\infty)$.
(1) 设函数 \[f(x)=\begin{cases} x^2+1, &x\leqslant 0,\\ -2x, &x>0, \end{cases}\] 解方程 $f(x)=5$;
(2) 设函数 \[f(x)=\begin{cases} x^2+2x+2, & x\leqslant 0,\\ -x^2, & x>0. \end{cases}\] 解关于 $a$ 的方程 $f\big(f(a)\big)=2$.
参考答案
以下解答均利用函数各段解析式的值域, 简化了分类讨论的过程.
(1) 当 $x>0$ 时, $y< 0$, 则由 $f(x)=5$ 知, $x\leqslant 0$ 且 $x^2+1=5$, 解得 $x=-2$.
(2) 若 $f(x)=2$, 则 $x\leqslant 0$ 且 $x^2+2x+2=0$, 解得 $x=0$ 或 $-2$, 所以 $f(a)=0$ 或 $-2$. 讨论知, $a=\sqrt2$.
求函数的解析式 #
如果已知条件为关于函数的代数式, 当函数的类型已知时, 用待定系数法来解. 具体做法是, 先按题意设函数解析式, 并写出其中的系数满足的条件, 再解相应的系数方程组.
(1) 已知 $f(x)$ 是一次函数, 满足 \[\left\{\!\!\begin{array}{l} 2f(1)+3f(2)=5,\\ 2f(-1)-f(0)=-1, \end{array}\right.\] 求 $f(x)$ 的解析式;
(2) 已知 $f(x)$ 为二次函数, $f(0)=1$, $f(x+1)=f(x)+2x$, 求 $f(x)$ 的解析式.
(1) 因为 $f(x)$ 是一次函数, 所以可以设 $f(x)=kx+b$ ($k\neq 0$). 由题意, \[\left\{\!\!\begin{array}{l} 2(k+b)+3(2k+b)=5,\\ 2(-k+b)-b=-1, \end{array}\right.\Rightarrow \left\{\!\!\begin{array}{l} k=\dfrac59,\\[3pt] b=\dfrac19, \end{array}\right.\] 所以 $f(x)=\dfrac59 x+ \dfrac19$.
(2) 由 $f(x)$ 为一元二次函数和 $f(0)=1$ 可设 \[ f(x)=ax^2+bx+1\quad (a\neq 0),\] 再代入 $f(x+1)=f(x)+2x$ 可得 \[ a(x+1)^2+b(x+1)+1=(ax^2+bx+1)+2x,\] 即 $2ax+a+b=2x$, 所以 \[\left\{\!\!\begin{array}{l} 2a=2,\\ a+b=0, \end{array}\right.\Rightarrow \left\{\!\!\begin{array}{l} a=1,\\ b=-1, \end{array}\right.\] 即 $f(x)= x^2-x+1$.
(1) 解上例时应注意, 一次函数解析式的一次项系数非零, 即解题过程中的 $k\neq 0$; 二次函数解析式的二次项系数非零, 即解题过程中的 $a\neq 0$. 其他形式可以类推.
(2) 在解上例中的 (2) 时, 设出解析式之后, 因为要确定两个系数 $a$, $b$, 所以也在 $f(x+1)=f(x)+2x$ 中取两个特殊的 $x$ 值, 得到两个方程从而联立解出 $a$ 和 $b$. 例如, 由于已有 $f(0)=1$, 所以不妨分别设 $x=0$ 和 $-1$, 可得 \[\left\{\!\!\begin{array}{l} f(1)=0,\\ f(-1)=2 \end{array}\right.\Rightarrow \left\{\!\!\begin{array}{l} a+b=0,\\ a-b=2, \end{array}\right.\] 进而可以求出系数 $a$, $b$.
若函数解析式的类型未知, 则一般是用整体代换来解决. 例如, 已知 $f(x+1)=2x$ 求 $f(x)$, 相当于求解前者中的 $f$ 是如何作用在 $x+1$ 上并得出 $2x$ 的. 此时应将 $x+1$ 看成整体, 比如设 $x+1=t$, 再用 $t$ 表示 $2x$. 因为 $x=t-1$, 所以 $2x=2(t-1)$, 表明由 $f(x+1)=2x$ 可得 $f(t)=2(t-1)$, 又可写成 $f(x)=2(x-1)$.
由以上分析可知, 解题这类问题时, 主要步骤一般只有两步: 先把 $f$ 作用的式子看成整体, 再把得到的式子用该整体表示.
(1) 设 $f(2x+1)=x^2-2x$, 求 $f(x)$ 和 $f(1)$;
(2) 已知 $f\biggl(x+\dfrac1x\biggr)= x^2+\dfrac1{x^2}$, 求 $f(x)$ (无需写明定义域).
(1) 对 $f(2x+1)=x^2-2x$, 令 $2x+1=t$, 则 $x=\dfrac{t-1}2$, 所以 \[\begin{aligned} f(t)&=f(2x+1)=x^2-2x= \biggl(\frac{t-1}2\biggr)^2- 2\cdot\frac{t-1}2\\ &= \frac14 t^2- \frac32 t+ \frac54, \end{aligned}\] 即 $f(x)= \dfrac14 x^2- \dfrac32 x+ \dfrac54$. 而 \[f(1)= \frac14- \frac32+ \frac54=0.\]
(2) 设 $x+\dfrac1x=t$, 则 \[ x^2+\frac1{x^2}= \biggl(x+\dfrac1x\biggr)^2-2= t^2-2,\] 所以 $f(t)= t^2-2$, 即 $f(x)=x^2-2$.
(1) 上例 (1) 中的 $f(1)$ 也可通过在 $f(2x+1)=x^2-2x$ 中令 $x=0$ 得到. 类似地, 若求 $f(3)$, 则可直接令 $x=1$.
(2) 上例 (2) 比较特殊, 解题时没有根据 $x+\dfrac1x=t$ 解出 $x$ 再代入 $x^2+\dfrac1{x^2}$, 而是直接利用恒等式整体替换.
(1) 已知 $f(2x+1)= 3x-2$ 且 $f(a)= 4$, 求 $a$ 的值;
(2) 已知 $f\Big(\dfrac1x\Big)= x^2+5x$, 求 $f(x)$ 的解析式;
(3) 设 $f(x)$ 是一次函数, 且 $f\bigl(f(x)\bigr)=4x+3$, 求 $f(x)$.
参考答案
(1) 令 $2x+1=t$, 则 $x=\dfrac{t-1}2$, 所以 \[ f(t)=f(2x+1)= 3x-2= \frac{3t-7}{2},\] 即 $f(a)= \dfrac{3a-7}{2}= 4$, 解得 $a=5$.
(2) 设 $t=\dfrac1x$, 则 $t\neq 0$, $x=\dfrac1t$, 所以 \[ f(t)=\frac1{t^2}+\frac5t,\quad t\neq 0.\]
(3) 设 $f(x)= ax+b$ ($a\neq 0$), 则 \[ f\bigl(f(x)\bigr)= a^2 x+ab+b.\] 对比已知解析式得 $a^2=4$ 且 $ab+b=3$, 所以 $a=2$, $b=1$ 或 $a=-2$, $b=-3$.
还有一类求函数解析式的问题, 本质上是求解函数方程 (由未知解析式的函数构成的方程). 这类问题没有通用解法, 不过有些特殊形式的函数方程可以利用变量替换得到关于函数的方程组, 然后解方程组得到问题的答案.
若 $2f(x)+f\biggl(\dfrac1x\biggr)=3x$ ($x\neq 0$) 恒成立, 求 $f(x)$ 的解析式.
把已知表达式中的所有 $x$ 都换成 $\dfrac1x$, 得 \[ 2f\biggl(\dfrac1x\biggr)+f(x)=3\dfrac1x,\] 再与已知表达式联立并消去 $f\biggl(\dfrac1x\biggr)$, 解得 $f(x)= 2x-\dfrac1x$ ($x\neq0$).
解上例时, 一般是将 $x$ 换成含 $x$ 的其他式子, 以凑出与已知表达式类似的式子, 再联立解出各函数. 例如, 若已知 \[ 2f(x)+f\biggl(-\dfrac1x\biggr)=3x,\] 则将 $x$ 都换成 $-\dfrac1x$, 可得 \[ 2f\biggl(-\dfrac1x\biggr)+f(x)= -\dfrac3x;\] 若已知 $2f(x)+f(1-x)=3x$, 则将 $x$ 都换成 $1-x$, 可得 \[ 2f(1-x)+f(x)=3(1-x),\] 随后与已知表达式联立即可解出 $f(x)$.
求解几何问题中的函数解析式, 则需要利用题中几何量之间的关系.
如下图所示, 有一块半径为 $R$ 的半圆形钢板, 计划裁剪成等腰梯形 $ABCD$ 的形状, 它的下底 $AB$ 是圆 $O$ 的直径, 且上底 $CD$ 的端点在圆周上. 写出梯形的周长 $y$ 关于腰长 $x$ 的函数关系式, 并求出它的定义域.
方法一: 作 $DE\perp AB$ 于点 $E$, 连接 $OD$. 设 $DC=l$, $DE=h$, 则 $AE=R-\dfrac{l}2$, $OE=\dfrac{l}2$. 对 $\mathrm{Rt}\triangle ADE$ 和 $\mathrm{Rt}\triangle ODE$, 有 \[\begin{aligned} x^2&= h^2+\Big(R-\frac{l}2\Big)^2,\\ R^2&= h^2+\Big(\frac{l}2\Big)^2. \end{aligned}\] 两式作差得, $x^2=-Rl+2R^2$ 即 $l=2R-\dfrac{x^2}R$, 故 $x\in (0,\sqrt2R)$ 且 \[ y=2x+l+2R=2x-\frac{x^2}R+4R.\]
方法二: 作 $DE\perp AB$ 于点 $E$, $OF\perp AD$ 于点 $F$, 则 $AF=\dfrac{x}2$. 由 $\triangle ADE\backsim\triangle AFO$ 知 \[ \frac{AE}{AD}=\dfrac{AF}{AO}\Rightarrow AE=\frac{x^2}{2R},\] $DC=2R-2AE=2R-\dfrac{x^2}R$, 结论同上.
以上结果表明, 当 $x=R$ 时, $y=5R$ 最大, 此时梯形 $ABCD$ 为圆内接正六边形的一半.
若等腰三角形的周长是 $20$, 求底边长 $y$ 关于腰长 $x$ 的函数解析式.
参考答案
$y+2x=20$, 则 $y=20-2x$, $x\in (0,10)$. (注意运用“三角形任意两边之和大于第三边”求边长取值范围.)