函数的奇偶性 #

函数的奇偶性 (odevity) 描述的是其图象的对称性. 若图象关于原点对称, 则称其为奇函数 (odd function);

若图象关于 $y$ 轴对称, 则称其为偶函数 (even function).

上面的描述性定义都隐含了“函数的定义域关于原点对称”, 也就是 $a$ 与 $-a$ 应同时在定义域中. 例如, $\mathbf{R}$, $[-3,3]$, $(-\infty,-1)\cup (1,+\infty)$ 均关于原点对称, 但是 $(-3,3]$, $(-\infty,-1)\cup [1,+\infty)$ 均不关于原点对称.

利用点的变换可以得到函数奇偶性的代数表示. 设函数 $f(x)$ 的定义域 $D$ 关于原点对称, 则 \[\begin{aligned} &f(x)\text{\,为偶函数}\Leftrightarrow f(-x)=f(x)\Leftrightarrow f(-x)-f(x)=0,\\ &f(x)\text{\,为奇函数}\Leftrightarrow f(-x)=-f(x)\Leftrightarrow f(-x)+f(x)=0. \end{aligned}\] 定义中的 $x$ 应整体对待, 例如, 对奇函数 $f(x)$, \[ f(-x+1)= f(-(x-1))= -f(x-1),\] 而不能简单地认为 $f(-x+1)= -f(x+1)$. 有些函数, 如 $f(x)= x+1$ 没有奇偶性, 称为非奇非偶函数. 由上述定义可以得到关于函数奇偶性的几个简单性质.

(1) 常值函数 $f(x)= k$ 必为偶函数.

(2) 若函数 $f(x)$ 既是奇函数又是偶函数, 则 \[ f(-x)= -f(x)= f(x)\Rightarrow f(x)= 0,\] 即在不考虑定义域时, 仅有零函数 (取值恒为 $0$) 既是奇函数又是偶函数.

(3) 若奇函数 $f(x)$ 的定义域为 $D$, 且 $0\in D$, 则 \[ f(-0)= -f(0)= f(0)\Rightarrow f(0)= 0,\] 即此时函数图象必过原点.

(4) $f(x)$ 为偶函数的定义等价于“$f(x)$, $f(|x|)$, $f(-x)$ 中有两者相等”. 利用绝对值的性质 $|x|= |-x|$ 可以证明此结论.

奇偶性的判断方法 #

判断函数 $f(x)$ 的奇偶性之前, 应确保其定义域 $D$ 关于原点对称; 然后检验 $f(-x)= -f(x)$ 和 $f(-x)= f(x)$ 之一是否恒成立. 检验后两个式子, 常用的方法是: 直接变形; 作差法, 如 $f(-x)= -f(x)$ 等价于 $f(-x)+f(x)= 0$; 作商法, 如 $f(-x)= -f(x)$ ($f(x)\neq 0$) 等价于 $\dfrac{f(-x)}{f(x)}= -1$.

由奇偶性的定义可以进一步得到结论: 设函数 $f(x)$, $g(x)$ 均定义在数集 $D$ 上, 且 $D$ 关于原点对称, 实数 $k$ 为常数, 则

(1) 当 $k\neq 0$ 时, $f(x)$ 与 $kf(x)$ 的奇偶性相同;

(2) 若 $f(x)$, $g(x)$ 均为奇 (偶) 函数, 则 $f(x)+g(x)$ 也为奇 (偶) 函数;

(3) 若 $f(x)$, $g(x)$ 奇偶性相同, 则 $f(x)g(x)$, $\dfrac{f(x)}{g(x)}$ ($g(x)\neq 0$) 均为偶函数; 若 $f(x)$, $g(x)$ 一奇一偶, 则 $f(x)g(x)$, $\dfrac{f(x)}{g(x)}$ ($g(x)\neq 0$) 均为奇函数.

下面用定义证明 (3) 的部分结论: 设 $f(x)$, $g(x)$ 均为奇函数, 则 \[ f(-x)= -f(x),\quad g(-x)= -g(x)\] 所以 \[ f(-x)g(-x)= (-f(x))\cdot (-g(x))= f(x)g(x),\] 即 $f(x)g(x)$ 是偶函数. 同理可证其他情形.

用上述结论来判断函数的奇偶性是比较方便的. 例如, 设函数 $f(x)= x^3 -x$, 因为 $y= x^3$ 与 $y= -x$ 均为奇函数, 所以 $f(x)$ 也为奇函数.

求带奇偶性的函数解析式 #

若函数 $f(x)$ 为奇函数或偶函数, 且已知其在区间 $(a,b)$ 上的解析式, 则利用奇偶性可以求出 $f(x)$ 在区间 $(-b,-a)$ 上的解析式.

奇偶性的简单应用 #

奇偶性可以与单调性结合, 来解抽象不等式.

(1) 当 $f(x)$ 为偶函数时, 其图象关于 $y$ 轴对称, 根据 $f(x)$ 在区间 $[0,+\infty)$ 上单调递增作出其图象的草图如下:

将 $2x-1$ 视为整体, 由图可知, $f(2x-1)< f(1)$ 等价于 $-1< 2x-1< 1$, 解得 $x\in (0,1)$.

(2) 当 $f(x)$ 为奇函数时, 其图象关于原点对称, 且由 $f(x)$ 在点 $x=0$ 处有定义知 $f(0)=0$. 根据 $f(x)$ 在区间 $[0,+\infty)$ 上单调递增作出其图象的草图如下:

由图可知, $f(2x-1)< f(1)$ 等价于 $2x-1< 1$, 解得 $x\in (-\infty,1)$.

“对勾”函数 #

考虑函数 $f(x)= x+\dfrac1x$ ($x\neq 0$), 因为 \[ f(-x)= (-x)+\frac1{-x}= -\biggl(x+\frac1x\biggr)= -f(x),\] 所以 $f(x)$ 是奇函数. 若 $x>0$, 则 $f(x)>0$, 且当 $x$ 是充分小的正数时, $f(x)\approx \dfrac1x$; 当 $x$ 是充分大的正数时, $f(x)\approx x$. 再结合 \[\begin{gathered} f\biggl(\frac14\biggr)= f(4)= \frac{17}4,\quad f\biggl(\frac13\biggr)= f(3)= \frac{10}3,\\ f\biggl(\frac12\biggr)= f(2)= \frac{5}2,\quad f(1)= 2, \end{gathered}\] 可以描点作图如下 (第三象限的图象与第一象限的图象关于原点对称):

由图可以看出 $f(x)= x+\dfrac1x$ 的单调递增区间为 $(-\infty,-1]$ 和 $[1,+\infty)$, 单调递减区间为 $(-1,0)$ 和 $(0,1)$. 利用单调性的定义可以验证这一点. 例如, 任取 $x_1$, $x_2\in [1,+\infty)$ 满足 $x_1< x_2$, 则 \[\begin{aligned} f(x_1)- f(x_2) &= \Bigl(x_1+\dfrac1x_1\Bigr)- \Bigl(x_2+\dfrac1x_2\Bigr)\\ &= (x_1-x_2)- \frac{x_1-x_2}{x_1x_2}\\ &= (x_1-x_2)\Bigl(1- \frac1{x_1x_2}\Bigr). \end{aligned}\] 此时 $x_1-x_2< 0$, $x_1x_2>1$ 即 $1- \dfrac1{x_1x_2}> 0$, 所以 \[ (x_1-x_2)\Bigl(1- \frac1{x_1x_2}\Bigr)< 0 \Rightarrow f(x_1)- f(x_2)< 0,\] 即 $f(x_1)< f(x_2)$, 表明 $f(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 上单调递增.

根据其图象的特征, 函数 $f(x)= x+\dfrac1x$ ($x\neq 0$) 一般形象地称为“对勾”函数. 第一象限图的最低点 $(1,2)$ 可由均值不等式得到. $f(x)$ 的图象是双曲线, 有两条渐近线: $y=x$ 和 $x=0$ (即 $y$ 轴). 观察 $f(x)$ 的图象可知, 若 $x\geqslant 3$, 则 $f(x)\geqslant f(3)$, 即此时 $f_{\min}=f(3)$. 类似地, 若 $x\geqslant \dfrac12$, 则 $f_{\min}=f(1)$.

一般地, $f(x)= x+\dfrac{k}x$ ($k>0$, $x\neq 0$) 均可称为“对勾”函数. 由与前面类似的分析可得, $f(x)$ 是奇函数, 有两条渐近线 $y=x$ 和 $x=0$, 第一象限图象的最低点为 $(\sqrt{k},2\sqrt{k})$, 单调递增区间为 $(-\infty,-\sqrt{k}]$ 和 $[\sqrt{k},+\infty)$, 单调递减区间为 $(-\sqrt{k},0)$ 和 $(0,\sqrt{k})$.