利用函数图象研究方程 #
函数 $f(x)= \ln x$ 与 $g(x)=x^2 -4x+4$ 的图象的交点个数为\,?
作草图可知, 共有两个交点.
\mymarginpar{进一步分析可知, 两个交点横坐标分别在 $[1,2]$ 和 $[3,4]$ 内.} 求函数 $f(x)=4^x-2^x-2$ 的零点. 令 $f(x)=0$, 则 $4^x-2^x-2=0$, 即
\[(2^x)^2-2^x-2=0,\quad (2^x-2)(2^x+1)=0.\]
因为恒有 $2^x>0$, 所以 $2^x=2$, 解得 $x=1$. 故所求零点为 $x=1$.
\begin{example}\label{exa:201223-1850} 设方程 $2^{-x}= |\lg x|$ 的两个根为 $x_1$, $x_2$, 求 $x_1x_2$ 的取值范围.
分别画出函数 $f(x)= 2^{-x}$ 和 $g(x)= |\lg x|$ 的图形, 可知两者交点的横坐标为 $x_1$, $x_2$, 且均为正数并分别在 $1$ 的两侧. 不妨设 $x_1\in(0,1)$, $x_2\in(1,+\infty)$, 由 $f(x)$ 单调递减可知, $f(x_1)>f(x_2)$, 即 $g(x_1)>g(x_2)$, 所以 \[|\lg x_1|> |\lg x_2|,\quad -\lg x_1> \lg x_2,\] 整理可得 $\lg (x_1x_2)< 0$. 进一步有 $x_1x_2\in(0,1)$.
若将例 \ref{exa:201223-1850} 中的方程改为 $k= |\log_a x|$, 其中 $k$ 为正的常数, $a\in(0,1)\cup (1,+\infty)$, 用同样的方法可以知道 $x_1x_2=1$.
\begin{example}\label{exa:201227-1450} 求关于 $x$ 的方程 $x=\log_a (-x^2 +2x+a)$ ($a>0$, 且 $a\neq 1$) 的解的个数.
因为 $x=\log_a a^x$, 所以原方程化为 \[\log_a a^x=\log_a (-x^2 +2x+a),\quad\text{即}\quad a^x= -(x-1)^2 +1+a,\] 故应考虑函数 $f(x)=a^x$ 与 $g(x)= -(x-1)^2 +1+a$ 的图形的交点个数. 分 $0< a< 1$ 和 $a>1$ 两种情况画图如下:
由图可知, $f(x)=a^x$ 与 $g(x)= -(x-1)^2 +1+a$ 的图形总有两个交点, 所以方程 $x=\log_a (-x^2 +2x+a)$ 的解的个数为 $2$.
例 \ref{exa:201227-1450} 也可以直接画原方程 $x=\log_a (-x^2 +2x+a)$ 对应的两个函数 $y=x$ 和 $y=\log_a (-x^2 +2x+a)$ 的大致图形, 画后者之前需适当讨论, 略微麻烦一点.
求方程组 $\left\{\!\!\begin{array}{l} y^2= 4x,\\ 2x+y-4= 0 \end{array}\right.$ 的解集.
解二元方程时, 一般先用消元法将二元方程化为一元方程. 由后一方程可知, $2x=4-y$, 代入前一方程得, \[y^2= 2(4-y),\quad\text{解得}\quad y= -4\ \text{或}\ 2,\] 所以原方程组的解集为 $\{(x,y)\mid (1,2),\ (4,-4)\}$.
求方程的根可以转化为求对应函数图形交点的横坐标, 或求对应函数的零点. 一般有如下两种转化方法: \[\begin{aligned} f(x)=0\text{\ 的根}&\Leftrightarrow \text{$f(x)$ 的图形与 $x$ 轴交点的横坐标};\\ f(x)+g(x)=0\text{\ 的根}&\Leftrightarrow \text{$f(x)$ 与 $-g(x)$ 的图形交点的横坐标}. \end{aligned}\] 前一种方法可视为后一种方法的特例, 而两种方法在使用时都需要考虑函数的单调性. 此外还有 (画图更容易理解)
零点存在性定理: 若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续, 且 $f(a)f(b)< 0$, 则 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 上至少有一根.
\begin{example}\label{exa:201217-1900} 已知函数 $f(x)= \begin{cases} \dfrac2x, & x\geqslant 2,\\ x^2-3, & x< 2, \end{cases}$ 若关于 $x$ 的方程 $f(x)=k$ 有三个不等的实根, 求 $k$ 的取值范围.
此题应考虑函数 $y=f(x)$ 与 $y=k$ 的图形的交点恰有三个的情形. 画出两者的图形示意图, 容易知道 $k\in(0,1)$.
\begin{example}\label{exa:201214-1905} 求函数 $f(x)=x^2-\log_{\frac12} x$ 的零点个数.
由 $f(x)=x^2-\log_{\frac12} x=0$ 可得 $x^2=\log_{\frac12} x$, 故设 $g(x)=x^2$, $h(x)=\log_{\frac12} x$, 并考虑两者图形的交点个数. 画图可知, 只有一个交点.
可以进一步用零点存在性定理来估计例 \ref{exa:201214-1905} 中的 $f(x)$ 的零点所在的大致区间. 因为已经由图知道 $f(x)$ 的零点为正数, 所以只需考虑 $x\in(0,+\infty)$ 的情形. 又因为此时 $\log_{\frac12} x$ 单调递减, 而 $-\log_{\frac12} x$ 单调递增, 所以 $f(x)=x^2-\log_{\frac12} x$ 单调递增. 计算知, $f\biggl(\dfrac12\biggr)=-\dfrac34$, $f(1)=1$, 由零点存在性定理, 零点在区间 $\biggl(\dfrac12,1\biggl)$ 内.
设函数 $f(x)= \begin{cases}
x, & x< a,\\
x^2, & x\geqslant a,
\end{cases}$ 若对于任意实数 $b$, 关于 $x$ 的方程 $f(x)-b=0$ 总有实根, 求 $a$ 的取值范围. 由 $f(x)$ 的表达式可知, 其图形在 $(-\infty,a)$ 上为直线 $y=x$ 的一部分, 在 $[a,+\infty)$ 上为抛物线 $y=x^2$ 的一部分. 而方程 $f(x)-b=0$ 等价于 $f(x)=b$, 则 $a$ 的取值应使得 $y=f(x)$ 与 $y=b$ 的图形总有交点. 画图可知, 仅当 $a\in[0,1]$ 时满足题意.
“$t\geqslant 0$”是“函数 $f(x)= x^2+tx-t$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内存在零点”的什么条件? 函数 $f(x)= x^2+tx-t$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内存在零点的充要条件是 $\Delta= t^2-4(-t)\geqslant 0$ 即 $t\in(-\infty,-4]\cup [0,+\infty)$, 所以“$t\geqslant 0$”是“函数 $f(x)= x^2+tx-t$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内存在零点”的充分不必要条件. 已知函数 $f(x)= \begin{cases}
\dfrac1x, & x\geqslant 1,\\
x^3, & x< 1,
\end{cases}$ 若关于 $x$ 的方程 $f(x)=k$ 有两个不等的实根, 求 $k$ 的取值范围. 此题与“2020 年 12 月 5 日答疑记录”的例 \ref{exa:201217-1900} 类似, 画图可知, $k\in(0,1)$.