等差数列 #
已知两个等差数列 $\{a_n\}$ 和 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和分别为 $S_n$ 和 $T_n$, 且 $\dfrac{S_n}{T_n}= \dfrac{3n+39}{n+3}$, 计算 $\dfrac{a_3}{b_3}$, $\dfrac{a_n}{b_n}$.
由等差数列求和公式, \[ S_n= \frac12(a_1+a_n)n,\quad T_n= \frac12(b_1+b_n)n,\] 所以已知等式化为 \[ \dfrac{S_n}{T_n}= \frac{a_1+a_n}{b_1+b_n} = \frac{3n+39}{n+3}.\] 再利用等差数列的性质, \[ 2a_3= a_1+ a_5,\quad 2b_3= b_1+ b_5,\] 所以在前式中令 $n= 5$ 可得 \[ \frac{a_3}{b_3}= \frac{a_1+ a_5}{b_1+ b_5} = \frac{3\cdot 5+ 39}{5+ 3}= \frac{27}{4}.\]
类似地, \[ 2a_n= a_1+ a_{2n-1},\quad 2b_n= b_1+ b_{2n-1},\] 所以 \[ \frac{a_n}{b_n}= \frac{a_1+ a_{2n-1}}{b_1+ b_{2n-1}} = \frac{3\cdot (2n-1)+ 39}{(2n-1)+ 3}= \frac{3n+18}{n+1}.\]
已知等差数列 ${a_n}$, $S_n$ 为其前 $n$ 项和, $a_5= 10$, $S_7=56$. (1) 求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式; (2) 若 $b_n= a_n+(\sqrt3)^{a_n}$, 求数列 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$. (1) 由等差数列求和公式, \[\begin{gathered}
S_7=56= \frac12(a_1+a_7)\cdot 7,\\
a_1+a_7= 16.
\end{gathered}\]
设公差为 $d$, 则 \[\left\{\!\!\begin{array}{l}
a_5= a_1+4d= 10,\\
a_1+a_7= 2a_1+ 6d= 16,
\end{array}\right.\]
解得 $a_1= 2$, $d= 2$, 所求通项公式为 \[
a_n= a_1+ (n-1)d= 2n,\quad n\in\mathbf{N}^+.\] (2) 由 $a_n= 2n$ 知, \[
b_n= a_n+(\sqrt3)^{a_n}= 2n+ 3^n,\]
所以分别按等差数列和等比数列求和公式, \[\begin{aligned}
T_n&= (2\cdot 1+ 3^1)+ (2\cdot 2+ 3^2)+ \cdots + (2n+ 3^n)\\
&= 2(1+2+\cdots+ n)+ (3^1+ 3^2+\cdots + 3^n)\\
&= 2\cdot \frac12(1+n)n+ \frac{3(1-3^n)}{1-3}\\
&= (1+n)n+ \frac32(3^n-1).
\end{aligned}\]