等比数列 #
设 $a,b>0$, 若 $\sqrt3$ 是 $3^a$ 与 $3^b$ 的等比中项, 求 $\dfrac1a +\dfrac1b$ 的最小值.
由已知, \[3^a\cdot 3^b= (\sqrt3)^2= 3,\quad a+b=1.\] 由 $a+b\geqslant 2\sqrt{ab}$ 知 $ab\leqslant \dfrac14$, 所以 \[\frac1a+\frac1b= \frac{a+b}{ab} = \frac{1}{ab}\geqslant 4,\] 等号成立当且仅当 $a=b= \frac12$.
\varexercise 若改求 $\dfrac1a+ \dfrac2b$ 的最小值, 则由 \[(a+b)\biggl(\frac1a+\frac2b\biggr) = 3+\frac{b}{a}+ \frac{2a}{b}\geqslant 3+2\sqrt2\] 可知, $\dfrac1a+ \dfrac2b\geqslant 3+2\sqrt2$, 等号成立当且仅当 $b=\sqrt2a$.