圆与直线的位置关系 #

(1) 由圆心 $C$ 在直线 $y=-2x$ 上可设 $C(a,-2a)$, 再设半径 $r$. 将切线 $x+y=1$ 方程改写为 $x+y-1= 0$, 由题意, \[\left\{\!\!\begin{array}{l} (2-a)^2+ (-1+ 2a)^2= r^2,\\ \dfrac{|a+(-2a)-1|}{\sqrt{1^2+1^2}}= r, \end{array}\right.\] 即 \[\left\{\!\!\begin{array}{l} 5a^2- 8a+ 5= r^2,\\ |a+1|= \sqrt{2} r. \end{array}\right.\] 将后一式平方并代入前一式, \[ 2(5a^2- 8a+ 5)= (a+1)^2,\] 解得 $a= 1$, 所以 $r= \sqrt2$, $C(1,-2)$, 圆 $C$ 的方程为 \[ (x-1)^2+ (y+2)^2= 4.\]

(2) 因为直线 $l$ 被圆 $C$ 截得的弦长为 $2$, 由圆 $C$ 的半径 $r=\sqrt2$ 和垂径定理, 作图知, 圆心 $C$ 到直线 $l$ 的距离 $d= 1$. 由直线 $l$ 经过原点可设 \[ l\colon mx+ ny= 0\quad (mn\neq 0),\] 再由点到直线的距离公式, \[ d= \frac{|m- 2n|}{\sqrt{m^2+n^2}}= 1,\] 去分母后平方整理得, $4m= 3n$. 所以 \[ l\colon 3x+4y=0.\]

由题意, 直线 $l_2$ 是线段 $AB$ 的中垂线, 则 $l_2\perp l_1$ 且 $l_2$ 过圆心. 因为 $l_2\colon x+y=0$ 的斜率为 $-1$, 所以 $l_1$ 的斜率 $k=1$, 其一般式为 \[ x-y+1=0.\] 将圆的方程改为标准形式 \[ (x+1)^2+ \biggl(y-\frac{m}2\biggr)^2= 1+\frac{m^2}{4},\] 可得圆心 $\biggl(-1,\dfrac{m}2\biggr)$, 代入 $l_2$ 的方程, \[ -1+\frac{m}2=0,\quad m=2.\] 因此圆心 $(-1,1)$, 到直线 $l_1\colon x-y+1=0$ 的距离为 \[ d= \frac{|-1-1+1|}{\sqrt{1+1}}= \frac{1}{\sqrt2}.\] 又因为圆的半径 $r$ 满足 $r^2= 1+\dfrac{m^2}{4}= 2$, 所以由垂径定理, \[ |AB|= 2\sqrt{r^2-d^2}= \sqrt6.\]

(1) 设 $C(a,b)$, 半径为 $r$, 则 \[ C\colon (x-a)^2+(y-b)^2= r^2.\] 由题意, \[\left\{\!\!\begin{array}{l} (a-0)^2+(b+2)^2= r^2,\\ (a-3)^2+(b-1)^2= r^2,\\ a+2b+1= 0. \end{array}\right.\] 前两式作差并整理得, $a+b=1$, 与第三式联立知, $a=3$, $b=-2$. 所以 \[ r^2= (a-0)^2+(b+2)^2= 9,\] 圆 $C$ 的标准方程为 \[ (x-3)^2+(y+2)^2= 9.\]

(2) 先假设所求实数 $a$ 存在. 因为直线 $l$ 垂直平分弦 $AB$, 所以 $l$ 过圆心 $C(3,-2)$. 又因为 $l$ 过点 $P(2,0)$, 所以 \[ l\colon y-0= \frac{-2-0}{3-2}(x-2),\] 整理得 $l\colon 2x+y-4=0$, 斜率为 $-2$. 由 $AB\perp l$ 知 $l_2\perp l$, 而 $l_2\colon ax-y+1=0$ 的斜率为 $a$, 所以 \[ (-2)\cdot a= -1,\quad a= \frac12.\]

此时仍需检验求得的 $a$ 是否符合题意, 读题可知, 需检验 $l_2$ 是否与圆 $C$ 相交. 将 $a$ 的值代入 $l_2$ 知, \[ l_2\colon x-2y+2=0.\] 此时圆心 $C(3,-2)$ 到 $l_2$ 的距离 \[ d= \frac{|3-2\cdot(-2)+2|}{\sqrt{1+4}} = \frac{9}{\sqrt5}> 3= r,\] 表明直线 $l_2$ 与圆 $C$ 相离, 与题意不符. 因此不存在符合题意的 $a$.