圆锥曲线综合 #

(1) 设椭圆 $C$ 的方程为 \[ \frac{x^2}{a^2}+ \frac{y^2}{b^2}= 1\quad (a>b>0),\] 半焦距为 $c$, 则 \[ e= \frac{c}{a}= \frac{\sqrt2}2,\quad c= \sqrt3,\quad a^2= b^2+c^2,\] 解得 $a=2$, $b=1$, 所求方程为 \[ \frac{x^2}4+ y^2= 1.\]

(2) (自行作草图) 将直线 $l$ 与椭圆 $C$ 的方程联立, \[\left\{\!\!\begin{array}{l} \dfrac{x^2}4+ y^2= 1,\\ y= \dfrac12x+m, \end{array}\right.\] 消去 $y$ 并整理, 可得 \[ x^2+ 2mx+ (2m^2-2)= 0.\] 设 $A(x_1,y_1)$, $B(x_2,y_2)$, 则 \[\left\{\!\!\begin{array}{l} x_1+x_2= -2m,\\ x_1x_2= 2m^2- 2,\\ \Delta= (2m)^2- 4(2m^2-2)> 0. \end{array}\right.\] 由上述不等式解得 $m^2\in [0,2)$.

设线段 $AB$ 的中点为 $M(x_3,y_3)$, 则 \[\begin{gathered} x_3= \frac{x_1+x_2}{2}= -m,\\ y_3= \frac12 x_3+m= \frac{m}{2}, \end{gathered}\] 设线段 $AB$ 的垂直平分线为 $l_1$, 则 $l_1$ 与 $l$ 的斜率互为负倒数, 即 $l_1$ 的斜率为 $-2$, 再由 $l_1$ 过点 $M$ 知 \[ l_1\colon y- \frac{m}{2}= -2[x-(-m)].\] 因为点 $T$ 是 $l_1$ 与 $x$ 轴的交点, 所以 $T\biggl(-\dfrac34m,0\biggr)$.

将直线 $l$ 的方程改写为一般式 $x- 2y+ 2m= 0$, 并设点 $T$ 到直线 $l$ 的距离为 $d$, 则 \[ d= \frac{\biggl|-\dfrac34m- 2\cdot 0+ 2m\biggr|}{\sqrt{1^2+(-2)^2}} = \frac{\sqrt5|m|}{4}.\] 再由弦长公式, \[\begin{aligned} |AB|&= \sqrt{1+\biggl(\frac12\biggr)^2}|x_1-x_2| = \frac{\sqrt5}{2}\cdot \frac{\sqrt{\Delta}}{|1|}\\ &= \frac{\sqrt5}{2}\cdot \sqrt{4(2-m^2)} = \sqrt5 \sqrt{2-m^2}. \end{aligned}\] 所以 $\triangle TAB$ 的面积为 \[ \frac12|AB|\cdot d= \frac58 |m|\sqrt{2-m^2} = \frac58 \sqrt{m^2(2-m^2)}.\] 式中 $m^2(2-m^2)$ 是关于 $m^2$ 的二次函数, 由已经解出的 $m^2\in [0,2)$ 知, 当 $m^2= 1$ 时, $m^2(2-m^2)$ 取最大值 $1$. 所以, $\triangle TAB$ 面积的最大值为 $\dfrac58$.