椭圆 #

(1) 设椭圆 $C$ 的半焦距为 $c$, 则 $c=1$. 由 $3|PF_1|= 5 |PF_2|$ 可设 \[ |PF_1|= 5t,\ |PF_2|= 3t,\quad t>0,\] 按椭圆定义, \[ 2a= |PF_1|+|PF_2|= 8t\Rightarrow a=4t.\] 在 $\triangle PF_1F_2$ 中, 由余弦定理, \[\begin{aligned} \cos\angle F_1PF_2 &= \frac35= \frac{|PF_1|^2+ |PF_2|^2- |F_1F_2|^2}{2|PF_1|\,|PF_2|}\\ &= \frac{(5t)^2+(3t)^2- 2^2}{2\cdot 5t\cdot 3t} = \frac{34t^2- 4}{30t^2}, \end{aligned}\] 解得 $t=\dfrac12$. 所以 \[ a=4t=2,\quad b= \sqrt{a^2-c^2}= \sqrt3,\] 椭圆 $C$ 的标准方程为 \[ \frac{x^2}{4}+ \frac{y^2}{3}= 1.\]

(2) 联立直线 $l$ 与椭圆 $C$ 的方程, 消去 $y$ 并整理, \[\begin{gathered} \frac{x^2}{4}+ \frac{(kx+m)^2}{3}= 1,\\ (3+4k^2)x^2+ 8mkx+ 4m^2-12= 0. \end{gathered}\] 设 $A(x_1,y_1)$, $B(x_2,y_2)$, 由韦达定理, \[\left\{\!\!\begin{array}{l} x_1+x_2= -\dfrac{8mk}{3+4k^2},\\ x_1x_2= \dfrac{4m^2-12}{3+4k^2},\\ \Delta= (8mk)^2- 4(3+4k^2)(4m^2-12)> 0, \end{array}\right.\] 第三式解得 $4k^2+3> m^2$.

设 $AB$ 的中点为 $M(x_0,y_0)$, 则 \[\begin{gathered} x_0= \frac12(x_1+x_2)= -\frac{4mk}{3+4k^2},\\ y_0= kx_0+m= \frac{3m}{3+4k^2}. \end{gathered}\] 因为 $|AQ|= |BQ|$, 所以 $MQ$ 是线段 $AB$ 的中垂线, 两者斜率互为负倒数, 即 \[ -1= \frac{y_0- 0}{x_0- \dfrac14}\cdot k = \frac{\dfrac{3m}{3+4k^2}}{-\dfrac{4mk}{3+4k^2}- \dfrac14}\cdot k,\] 整理得, $m= -\dfrac{3+4k^2}{4k}$. 将此式代入由 $\Delta>0$ 解出的不等式, 即得 \[\begin{gathered} 4k^2+3> \biggl(-\dfrac{3+4k^2}{4k}\biggr)^2,\\ k\in \biggl(-\infty,-\frac12\biggr)\cup \biggl(\frac12,+\infty\biggr). \end{gathered}\]

将直线方程代入椭圆方程, 消去 $y$ 并整理, \[ 3x^2+ 4y^2-2= 0.\] 设 $A(x_1,y_1)$, $B(x_2,y_2)$, 则由韦达定理, $x_1+x_2= -\dfrac43$. 再设 $M(x_0,y_0)$, 由中点坐标公式, \[ x_0= \dfrac12(x_1+x_2)= -\frac23,\] 代入直线方程知所求中点 $M$ 的坐标为 $\biggl(-\dfrac23,\dfrac13\biggr)$.

左焦点 $F_1$ 为 $(-1,0)$, 则 \[ l\colon y=\tan 60^\circ(x+1)= \sqrt{3}(x+1).\] 将直线 $l$ 的方程代入椭圆方程, 消去 $y$ 并整理, \[ 7x^2+ 12y^2-4= 0.\] 设 $A(x_1,y_1)$, $B(x_2,y_2)$, 则由韦达定理, $x_1+x_2= -\dfrac{12}7$. 再设 $M(x_0,y_0)$, 由中点坐标公式, \[ x_0= \dfrac12(x_1+x_2)= -\frac67,\] 代入直线 $l$ 的方程知所求中点 $M$ 的坐标为 $\biggl(-\dfrac67,\dfrac{\sqrt3}7\biggr)$.