抛物线 #

(1) 将点 $P(1,1)$ 代入抛物线 $C$ 的方程, \[ 1^2= 2p\cdot 1,\quad p=\frac12,\] 所以 $C\colon y^2=x$, 焦点 $\biggl(\dfrac14,0\biggr)$, 准线 $x= -\dfrac14$.

(2) 设 $l$ 斜率为 $k$, 则 \[ l\colon y-\frac12= k(x-0)\Rightarrow y= kx+\frac12,\] 代入 $C\colon y^2=x$ 整理得 \[ k^2x^2+ (k-1)x+ \frac14= 0.\] 设 $M(x_1,y_1)$, $N(x_2,y_2)$, 由韦达定理, \[\left\{\!\!\begin{array}{l} x_1+x_2= -\dfrac{k-1}{k^2},\\ x_1x_2= \dfrac1{4k^2}, \end{array}\right.\]

由 $P(1,1)$ 知 $OP\colon y=x$, 而 $MA$ 为 $x$ 轴的垂线, 所以 $A(x_1,x_1)$. 再由 $N(x_2,y_2)$ 知 $ON\colon y= \dfrac{y_2}{x_2}x$, 而 $MB$ 为 $x$ 轴的垂线, 所以 $B\biggl(x_1,\dfrac{y_2x_1}{x_2}\biggr)$. 由中点坐标公式, 要证明 $A$ 为线段 $BM$ 的中点, 相当于证明 \[ y_1+\dfrac{y_2x_1}{x_2}= 2x_1 \Leftrightarrow x_2y_1+ y_2x_1= 2x_1x_2.\]

因为点 $M(x_1,y_1)$, $N(x_2,y_2)$ 在直线 $l$ 上, 所以 \[ y_1= kx_1+\frac12,\quad y_2= kx_2+\frac12,\] 结合韦达定理, 进而有 \[\begin{aligned} x_2y_1+ y_2x_1 &= x_2\biggl(kx_1+\frac12\biggr)+ \biggl(kx_2+\frac12\biggr)x_1\\ &= 2k x_1x_2+ \frac12(x_1+x_2)\\ &= 2k\cdot \frac1{4k^2}+ \frac12\cdot\biggl(-\frac{k-1}{k^2}\biggr)\\ &= \frac1{2k^2}- \frac{k-1}{2k^2}= \frac{1}{2k^2}\\ &= 2x_1x_2. \end{aligned}\] 因此求证的结论成立.