直线的平行与垂直

直线的平行与垂直 #

设 $m\in\mathbf{R}$, 动直线 $l_1\colon x+my=0$ 和 $l_2\colon mx-y-m+3=0$ 分别过定点 $A,B$, $l_1$ 和 $l_2$ 交于点 $P(x,y)$, 求 $|PA|\cdot |PB|$ 的最大值.

由题意, $A(0,0)$, $B(1,3)$ 且 $l_1\perp l_2$, 则 $\triangle PAB$ 为直角三角形, 且 $\angle P= 90^\circ$, 所以 \mymarginpar{发现 $l_1\perp l_2$ 是解本题的关键.} \[|PA|^2+ |PB|^2= |AB|^2= 10.\] 由 $|PA|^2+ |PB|^2\geqslant 2|PA|\cdot |PB|$ 知, \[|PA|\cdot |PB|\leqslant 5,\] 等号成立当且仅当 $|PA|=|PB|= \sqrt5$.

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