常见导数公式 #
曲线 $y= x^2$ 在点 $P$ 处的切线的倾斜角为 $\dfrac\pi4$, 求点 $P$ 的坐标.
设 $P(x_0,y_0)$, 因为 $y= x^2$ 的导数为 $y'= 2x$, 所以 \[ 2x_0= \tan\frac\pi4,\quad x_0= \frac12,\] 而 $y_0= x_0^2= \dfrac14$. 点 $P$ 的坐标为 $\biggl(\dfrac12,\dfrac14\biggr)$.
已知函数 $f(x)= ax^2+b$ 的图形开口向下, \[
\lim_{\Delta x\to 0} \frac{f(a+\Delta x)- f(a)}{\Delta x}= 4,\]
求 $a$ 的值. 题中式子为导数 $f'(a)$ 的定义, 则 $f'(a)= 4$. 因为 $f'(x)= 2ax$, 所以 \[
2a\cdot a= 4,\quad a= \pm2.\]
因为函数 $f(x)= ax^2+b$ 的图形开口向下, 所以 $a< 0$, 则 $a=-2$.
已知曲线 $y= ax^2+b$ 在点 $(1,3)$ 处的切线的斜率为 $2$, 求 $a$, $b$ 的值. $y= ax^2+b$ 的导数为 $y'= 2ax$, 所以 \[
3= a\cdot 1^2+b,\quad 2= 2a\cdot 1,\]
解得 $a=1$, $b=2$.
求下列函数的导数: (1) $f(x)= (1+\sin x)(1- 4x)$;\quad
(2) $g(x)= \dfrac{x}{x+1}$. (1) 将 $f(x)$ 展开, \[
f(x)= 1+\sin x- 4x- 4x\sin x,\]
求导得 \[\begin{aligned}
f'(x)&= \cos x- 4- (4\sin x+ 4x\cos x)\\
&= \cos x- 4- 4\sin x- 4x\cos x.
\end{aligned}\] (2) 直接用求导公式, \[\begin{aligned}
g(x)&= \frac{x'(x+1)- x(x+1)'}{(x+1)^2}\\
&= \frac{(x+1)- x}{(x+1)^2}
= \frac{1}{(x+1)^2}.
\end{aligned}\] 求下列函数的导数: (1) $y= 2x^2+ \dfrac1x- \dfrac3{x^2}$;\quad
(2) $y= x\sin x$;\quad
(3) $y= \mathrm{e}^x\ln x$; (4) $y= (2x^2-5x+2)\mathrm{e}^x$;\quad
(5) $y= \dfrac{x-1}{x+1}$;\quad
(6) $y= \dfrac{4+ \ln x}{x}$. (1) 先将函数改写为 $y= 2x^2+ x^{-1}- 3x^{-2}$, 则 \[
y'= 4x- x^{-2}+ 6x^{-3}.\] (2) 直接用积的导数公式, \[
y'= 1\cdot \sin x+ x\cdot \cos x
= \sin+ x\cos x.\] (3) $y'= \mathrm{e}^x\ln x+ \dfrac{\mathrm{e}^x}x$. (4) 用积的导数公式, \[\begin{aligned}
y&= (4x-5)\mathrm{e}^x+ (2x^2-5x+2)\mathrm{e}^x\\
&= (2x^2-x-3)\mathrm{e}^x.
\end{aligned}\] (5) 用商的导数公式, \[
y= \dfrac{1\cdot(x+1)- (x-1)\cdot 1}{(x+1)^2}
= \dfrac{2}{(x+1)^2}.\] (6) 用商的导数公式, \[
y= \dfrac{\dfrac1x\cdot x- (4+\ln x)\cdot 1}{x^2}
= \dfrac{-3-\ln x}{x^2}.\]
求下列函数的导数: (1) $y= \mathrm{e}^{-x}$;\quad
(2) $y= \ln(3x)$;\quad
(3) $y= (3x+1)\ln(3x)$. (1) 将函数改写为 $y= \dfrac{1}{\mathrm{e}^x}$, 再由商的导数公式, \[
y'= \dfrac{0\cdot \mathrm{e}^x- 1\cdot \mathrm{e}^x}{(\mathrm{e}^x)^2}
= -\dfrac{1}{\mathrm{e}^x}.\] (2) 将函数改写为 $y= \ln 3+ \ln x$, 再由和的导数公式, \[
y'= 0+\frac1x= \frac1x.\] (3) 因为 $\ln(3x)= \ln 3+ \ln x$, 所以 \[\begin{aligned}
y'&= 3(\ln3+ \ln x)+ (3x+1)\frac1x\\
&= 3(\ln3+ 1)+ 3\ln x+\frac1x.
\end{aligned}\] 求下列函数的导数: (1) $y=(2x^2+3)(3x-1)$;\quad
(2) $y=x-\sin\dfrac{x}2\cos\dfrac{x}2$;\quad
(3) $y= \dfrac{\ln x}{x^2+1}$. (1) 先将函数式展开, \[
y= 6x^3-2x^2+9x-3,\]
再求导, \[
y'= 18x^2- 4x+9.\] (2) 函数可化为 $y=x- \dfrac12\sin x$, 则 \[
y= 1- \dfrac12\cos x.\] (3) 由商的导数公式, \[
y= \dfrac{\dfrac1x\cdot (x^2+1)- \ln x\cdot (2x)}{(x^2+1)^2}
= \dfrac{x+\dfrac1x- 2x\ln x}{(x^2+1)^2}.\]
求曲线 $y=x\ln x$ 在点 $M(\mathrm{e},\mathrm{e})$ 处的切线方程. $y= x\ln x$ 的导数为 $y'= \ln x+1$, 所求切线的斜率 \[
k= \ln \mathrm{e}+1= 2,\]
则切线方程为 \[
y- \mathrm{e}= 2(x- \mathrm{e})\Rightarrow
y= 2x- \mathrm{e}.\]
设直线 $y=-3x+m$ 是曲线 $y=x^3-3x^2+3$ 的一条切线, 求实数 $m$ 的值. 设切点为 $(x_0,y_0)$. 因为曲线对应函数的导数为 $y'= 3x^2-6x$, 切线斜率为 $-3$, 所以 \[
3x_0^2-6x_0= -3,\quad x_0=1.\]
因为切点在曲线上, 所以 \[
y_0= x_0^3-3x_0^2+3= 1,\]
而切点又在切线上, 则 \[
y_0= -3x_0+m,\quad m= 4.\]
设曲线 $y=x^{n+1}\ (n\in N^+)$ 在点 $(1,1)$ 处的切线与 $x$ 轴的交点的横坐标为 $x_n$, 令 $a_n= \lg x_n$, 求 $a_1+ a_2+ \cdots+ a_{99}$ 的值. 因为 $y=x^{n+1}$ 的导数为 $y'=(n+1)x^n$, 所以在点 $(1,1)$ 处的切线斜率为 \[
k= (n+1)\cdot 1^n= n+1,\]
切线方程为 \[
y-1= (n+1)(x-1).\]
再求切线与 $x$ 轴的交点的横坐标, 在上式中令 $y=0$, 得 \[
-1= (n+1)(x_n-1),\quad x_n= 1-\frac1{n+1}.\]
因此 \[
a_n= \lg x_n= \lg \biggl(1-\frac1{n+1}\biggr)
= \lg\frac{n}{n+1},\]
继而 \[\begin{aligned}
&a_1+ a_2+ \cdots+ a_{99}\\
={}& \lg\frac12+ \lg\frac23+\cdots+ \lg\frac{99}{100}\\
={}& \lg\biggl(\frac12\cdot \frac23\cdot\,\cdots\,\cdot \frac{99}{100}\biggr)\\
={}& \lg\frac1{100}= -2.
\end{aligned}\] 已知二次函数 $f(x)=ax^2 +bx+c$ 的导函数 $f'(x)$ 满足 $f'(0)>0$. 若对任意实数 $x$, 有 $f(x)\geqslant 0$, 求 $\dfrac{f(1)}{f'(0)}$ 的最小值. $f'(x)= 2ax+b$. 由 $f'(0)>0$ 知 $b>0$. 由 $f(x)\geqslant 0$ 恒成立知,
\[\Delta= b^2-4ac= 0,\quad b^2= 4ac,\]
所以
\[\begin{aligned}
\frac{f(1)}{f'(0)}
&= \frac{a+b+c}{b}= \frac{a+c}{b}+ 1\\
&\geqslant \frac{2\sqrt{ac}}{\sqrt{4ac}}+ 1= 2,
\end{aligned}\]
等号成立当且仅当 $a=c$, $b=2c$.