不等式 #
不等式用于描述变量或式子之间的不等关系, 含条件不等式和恒成立不等式. 对于前者, 主要研究其解法; 对于后者, 主要研究其证明. 无论是解不等式还是证明不等式, 都需借助不等式的性质. 均值不等式是特殊的恒成立不等式. 下面结合 《2020 年课标》介绍这部分的学习要求.
不等式的性质 #
相等关系、不等关系是数学中最基本的数量关系, 是构建方程、不等式的基础.
学习不等式的性质, 应做到
- 理解不等式的概念, 掌握不等式的性质, 了解其与等式的性质的差别,
- 掌握比较大小的基本方法——作差法.
绝对值不等式与二次不等式 #
绝对值不等式是指含绝对值的不等式, 二次不等式与二次函数密切相关.
学习绝对值不等式与二次不等式时, 应做到
- 能利用绝对值的几何意义解绝对值不等式,
- 能利用二次函数图象解二次不等式,
- 理解用分类讨论法解绝对值不等式与含参数的二次不等式
分式不等式与高次不等式 #
分式不等式可以转化为高次不等式. 学习分式不等式与高次不等式时, 应做到
- 掌握解高次不等式的“穿线法”,
- 能将分式不等式化为与之等价的高次不等式.
均值不等式 #
均值不等式是数学中常用的恒成立不等式.
学习均值不等式时, 应做到
- 掌握均值不等式 $\dfrac{a+b}2\geqslant \sqrt{ab}$ ($a$, $b\geqslant 0$), 及式中等号成立的条件,
- 结合具体实例，能用均值不等式解决简单的最大值或最小值问题.
后续内容 #
以下介绍不等式的性质、绝对值不等式与二次不等式、分式不等式与高次不等式、均值不等式.