分式不等式与高次不等式 #
二次不等式的解法也可以用于求解简单的分式不等式. 求解一般的分式不等式和高次不等式时, 需将二次不等式的解法推广为“穿根法”.
简单的分式不等式的解法 #
关于 $x$ 的形如 $\dfrac{Ax+B}{Cx+D}>(\geqslant)\,0$ 的分式不等式, 可以利用分子和分母的正负号关系转化为二次不等式来解. 具体地, \[\begin{aligned} \frac{Ax+B}{Cx+D}>0 & \Leftrightarrow (Ax+B)(Cx+D)>0,\\ \frac{Ax+B}{Cx+D}\geqslant 0 & \Leftrightarrow \left\{\!\! \begin{array}{l} (Ax+B)(Cx+D)\geqslant 0,\\ Cx+D\neq 0. \end{array}\right. \end{aligned}\] 前一个等价关系中右边不用限制分母非零, 因为乘积非零等价于两个因子均非零; 后一个等价关系中右边必须限制分母非零, 因为乘积为零等价于两个因子均可能为零. 例如, 不等式 $\dfrac{x-2}{x-3}>0$ 等价于 $(x-2)(x-3)>0$, 则 $x\in (-\infty,2)\cup (3,+\infty)$. 注意, \[\frac{x-2}{x-3}\geqslant 0\Leftrightarrow \left\{\!\!\begin{array}{l} (x-2)(x-3)\geqslant 0, \\ x-3\neq 0, \end{array}\right.\] 解得 $x\in (-\infty,2]\cup (3,+\infty)$.
关于 $x$ 的形如 $\dfrac{Ax+B}{Cx+D}>(\geqslant)\,E$ 的分式不等式, 也可以先移项、合并, 变成与 $0$ 比大小, 即写为 \[ \frac{Ax+B-E(Cx+D)}{Cx+D}>(\geqslant)\,0,\] 从而进一步化为二次不等式来求解.
解下列不等式:
(1) $\dfrac{2x-3}{x-5}>1$; (2) $\dfrac{2-x}{x-5}\geqslant 2$.
(1) 原不等式化为 \[ \frac{2x-3}{x-5}-1>0\Rightarrow \frac{x+2}{x-5}>0,\] 所以等价于 $(x+2)(x-5)>0$, 解得 $x\in (-\infty,-2)\cup (5,+\infty)$.
(2) 移项、合并后, 原不等式化为 \[ \frac{12-3x}{x-5}\geqslant 0,\] 等价于 \[\left\{\!\!\begin{array}{l} (12-3x)(x-5)\geqslant 0,\\ x-5\neq 0, \end{array}\right. \text{解得}\ x\in [4,5).\]
解不等式 $\dfrac{x-1}x\geqslant 2$.
参考答案
移项、合并后, 再去负号、去分母, 可得 $\dfrac{x+1}{x}\leqslant 0$, 进一步解得 $x\in [-1,0)$.
若 $a>b$, 且 $a-\dfrac1a> b-\dfrac1b$, 求 $ab$ 的取值范围.
作差并整理, \[\begin{aligned} a-\frac1a- \biggl(b-\frac1b\biggl) &= a-b+ \frac{a-b}{ab}\\ &= (a-b)\biggl(1+\frac1{ab}\biggr)\\ &>0. \end{aligned}\] 由 $a>b$ 知 $a-b>0$, 上式两边同时除以 $a-b$ 得 $1+\dfrac1{ab}>0$. 将 $ab$ 视为整体, 解得 $ab\in(-\infty,-1)\cup (0,+\infty)$.
对不等式 $1+\dfrac1x> 0$, 常见的错误解法是直接在不等式两边同乘 $x$, 并得到 $x> -1$. 这种解法错误的原因是默认 $x$ 为正数, 而忽略了不等式两边乘负数时要变号. 正确的解法是按前述方法先将不等式化为与 $0$ 比大小, 再转化为等价的整式不等式. 还有一个方法是直接利用反比例函数图象. 用这两种解法均可以得到 $\dfrac1x< 1$ 的解集为 $(-\infty,-1)\cup (0,+\infty)$.
高次不等式的解法 #
利用零点分段法从代数角度理解二次不等式的解法, 可以推广得到高次不等式的解法. 对 $(x+1)(x-2)>0$, 以因式的零点 $-1$, $2$ 为分界点划分数轴, 并列出下表 \[\begin{array}{c|ccc} \hline x & (-\infty,-1) & (-1,2) & (2,+\infty) \\ \hline x+1 & - & + & + \\ x-2 & - & - & + \\ (x+1)(x-2) & + & - & +\\ \hline \end{array}\] 可知解集为 $(-\infty,-1)\cup (2,+\infty)$. 注意表中略去了零点所在列. 同样地, 考虑 \[ (x+1)(x-2)(x-3)>0,\] 以因式的零点 $-1$, $2$, $3$ 为分界点划分数轴, 可以列出下表 \[\begin{array}{c|cccc} \hline x & (-\infty,-1) & (-1,2) & (2,3) & (3,+\infty) \\ \hline x+1 & - & + & + & + \\ x-2 & - & - & + & + \\ x-3 & - & - & - & + \\ (x+1)(x-2)(x-3) & - & + & - & +\\ \hline \end{array}\] 因此解集为 $(-1,2)\cup (3,+\infty)$.
上述两个不等式均为多个互异的一次式的乘积与 $0$ 比大小, 且各因式的一次项系数为正. 观察对应的正负值表可以看出:
(1) 每个一次因式仅在其零点处变号, 从而使得乘积式在每个零点处均变号;
(2) 在以 $+\infty$ 为右端点的区间上, 各因式均为正数, 所以乘积式也必为正数.
正是因为这两个特征, 在求解高次不等式时, 可以根据乘积式的正负号, 结合数轴从右往左大致描出对应函数的图象, 然后写出不等式的解集. 例如, 由不等式 \[ (x+1)(x-2)(x-3)>0\] 可以描出下图, 并得到解集 $(-1,2)\cup (3,+\infty)$.
上述方法称为穿根法, 利用了乘积式在各零点两侧异号的特点. 某些分式不等式与高次不等式等价, 也可以用穿根法求解. 例如, 不等式 $\dfrac{(x+1)(x-2)}{x-3}>0$ 等价于 \[ (x+1)(x-2)(x-3)>0,\] 解集亦为 $(-1,2)\cup (3,+\infty)$.