一元二次方程的解法 #
关于 $x$ 的一元二次方程 $ax^2+bx+c= 0$ ($a\neq 0$) (此为标准形式) 的解法通常有三种: 因式分解法、配方法、求根公式法. 较常用的是第一种和第三种, 且解方程时一般先将方程化为标准形式, 如 $x^2-2=x$ 应化为 $x^2-x-2=0$, 以便于因式分解或用求根公式.
因式分解法 #
因式分解法是指将二次方程 $ax^2+bx+c= 0$ 化为 \[ (Ax+B)(Cx+D)=0\] 的形式, 则 \[ Ax+B=0\quad \text{或}\quad Cx+D=0,\] 再解这两个一次方程. 例如, 解方程 $x^2-2x-3=0$, 可先将方程化为 \[ (x+1)(x-3)=0,\] 则 \[ x+1=0\quad \text{或}\quad x-3=0,\] 解得 $x=-1$ 或 $3$ (也可以写成 $x_1=-1$, $x_2=3$).
使用因式分解法时, 需要熟练掌握 二次三项式因式分解 的常用方法.
解关于 $x$ 的方程:
(1) $x^2+6x+5=0$; (2) $x^2-4x-21=0$;
(3) $3x^2+11x=-6$; (4) $(x+2)(x+1)=6$.
(1) 因式分解得 \[ (x+1)(x+5)=0\] 所以 $x=-1$ 或 $-5$.
(2) 因式分解得 \[ (x+3)(x-7)=0\] 所以 $x=-3$ 或 $7$.
(3) 先移项将等号右边化为 $0$ (即将方程化为标准形式), 再因式分解得 \[\begin{aligned} 3x^2+11x+6&=0,\\ (3x+2)(x+3)&=0, \end{aligned}\] 所以 $x=-\dfrac23$ 或 $-3$.
(4) 先将方程化为标准形式, 再因式分解得 \[\begin{aligned} x^2+3x-4&=0,\\ (x+4)(x-1)&=0, \end{aligned}\] 所以 $x=-4$ 或 $1$.
解关于 $x$ 的方程:
(1) $x^2-11x+30=0$; (2) $x^2-x=12$.
参考答案
(1) $x=5$ 或 $6$; (2) $x=-3$ 或 $4$.
配方法 #
除用于因式分解外, 配方法 也可用于解一元二次方程. 仍以方程 $x^2-2x-3=0$ 为例, 用配方法求解, 则 \[(x-1)^2=4,\quad\text{即}\quad x-1=\pm2,\] 所以 $x=-1$ 或 $3$.
(1) 由 $x^2=a$ ($a>0$) 应得 $x=\pm\sqrt{a}$, 即不要遗漏负根;
(2) 使用配方法解方程时, 变形过程与因式分解时的过程略有区别, 一般将方程改写为 $(x+m)^2=n$ ($n\geqslant0$) 的形式.
解关于 $x$ 的方程:
(1) $x^2+6x+5=0$; (2) $x^2-4x-21=0$;
(1) 配方得 \[\begin{aligned} (x+3)^2&=4,\\ x+3&= \pm2, \end{aligned}\] 所以 $x=-1$ 或 $-5$.
(2) 配方得 \[\begin{aligned} (x-2)^2&=25,\\ x-3&= \pm5, \end{aligned}\] 所以 $x=-3$ 或 $7$.
解关于 $x$ 的方程:
(1) $x^2-10x+24=0$; (2) $x^2-2x=8$.
参考答案
(1) $x=4$ 或 $6$; (2) $x=-2$ 或 $4$.
求根公式 #
一元二次方程 $ax^2+bx+c= 0$ ($a\neq 0$) 的求根公式源自配方法. 具体的变形过程为 \[\begin{aligned} x^2+\frac{b}a x+ \frac{c}a &= 0,\\ x^2+\frac{b}a x+ \frac{b^2}{4a^2} &= \frac{b^2}{4a^2}- \frac{c}a,\\ \biggl(x+\frac{b}{2a}\biggr)^2 &= \frac{b^2-4ac}{4a^2}. \end{aligned}\] 所以当 (且仅当) $b^2-4ac\geqslant 0$ 时, \[\begin{gathered} x+\dfrac{b}{2a}= \pm\dfrac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a},\\ x= \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}. \end{gathered}\] 通常记 $\Delta= b^2-4ac$, 上述求根公式又可写为 (更容易记忆且必须牢记的) \[ x_{1,2}= \dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}.\]
上面引进的 $\Delta= b^2-4ac$ 也称为方程 $ax^2+bx+c= 0$ ($a\neq 0$) 的判别式, 因为前面变形过程的最后一行表明, $\Delta$ 的正负号可以判别方程实根的个数:
- 当 $\Delta>0$ 时, 方程有两个不等实根
- 当 $\Delta=0$ 时, 方程有两个相等实根
- 当 $\Delta<0$ 时, 方程没有实根
例如, 方程 $x^2+x+1= 0$ 的判别式 $\Delta= -3<0$, 所以方程无实根; 方程 $x^2+x-2= 0$ 的判别式 $\Delta= 9>0$, 所以方程有两个不等实根 ($x_1= 1$, $x_2= -2$); 方程 $x^2+2x+1= 0$ 的判别式 $\Delta= 0$, 所以方程有两个相等实根 ($x_1=x_2=-1$).
(1) 解一元二次方程时, 优先考虑因式分解法, 然后是求根公式法; 根据系数特点 (如二次项系数为 $1$ 且一次项系数为偶数), 有时也可考虑配方法.
(2) 由前面的求根公式变形过程可知, 关于 $x$ 的二次方程 \[ ax^2+bx+c= 0\quad (a\neq 0)\] 有两个根 $x_1,x_2$, 等价于 \[ ax^2+bx+c= a(x-x_1)(x-x_2).\] 这就是二次三项式因式分解中的求根法. 上述结论可以推广 (证明方法有变化), 例如, 关于 $x$ 的三次方程 \[ ax^3+bx^2+cx+d= 0\quad (a\neq 0)\] 有三个根 $x_1,x_2,x_3$, 等价于 \[\begin{aligned} &ax^3+bx^2+cx+d\\ ={}& a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3).\end{aligned}\]
解关于 $x$ 的方程:
(1) $x^2+6x+6= 0$; (2) $2x^2-3= 4x$;
(1) 容易看出因式分解不方便, 直接用求根公式, \[ x_{1,2}= \frac{-6\pm\sqrt{6^2- 4\cdot 6}}{2\cdot 1} = -3\pm\sqrt3.\]
(2) 先化为标准形式 $2x^2-4x-3=0$, 再用求根公式, \[\begin{aligned} x_{1,2}&= \frac{-(-4)\pm\sqrt{(-4)^2- 4\cdot 2\cdot (-3)}}{2\cdot 2}\\ &= \frac{2\pm\sqrt{10}}2. \end{aligned}\]
解关于 $x$ 的方程:
(1) $x^2-10x+1=0$; (2) $2x^2-x=5$.
参考答案
(1) $x_{1,2}= 5\pm2\sqrt6$; (2) $x_{1,2}= \dfrac{1\pm\sqrt{41}}4$.
二次三项式的判别式 #
对关于 $x$ 的二次三项式 $ax^2+bx+c$, 令其为 $0$ 就转化成二次方程 $ax^2+bx+c= 0$, 所以此时 $\Delta= b^2-4ac$ 也称为该二次三项式的判别式, 并可以用于判断其是否可以因式分解:
若该式可以因式分解, 必可分解为 $(Ax+B)(Cx+D)$ 的形式, 令其等于 $0$, 可解出对应的 $x$ 值. 反之, 若 $ax^2+bx+c=0$ 有实根, 则 $\Delta\geqslant 0$, 配方法 变形的最后一行可改写为 \[a\biggl[\biggl(x+\frac{b}{2a}\biggr)^2- \frac{\Delta}{4a^2}\biggr],\] 继而可以使用平方差公式. 所以“$ax^2+bx+c$ 可以因式分解”等价于“$ax^2+bx+c=0$ 有实根”, 即
- 当 $\Delta>0$ 时, $ax^2+bx+c$ 可以因式分解
- 当 $\Delta=0$ 时, $ax^2+bx+c$ 可以因式分解且为完全平方式
- 当 $\Delta<0$ 时, $ax^2+bx+c$ 不可以因式分解
例如, $x^2+x+1$ 的判别式 $\Delta= -3<0$, 所以无法因式分解; $x^2+x-2$ 的判别式 $\Delta= 9>0$, 所以 \[ x^2+x-2= (x+2)(x-1);\] $x^2+2x+1= 0$ 的判别式 $\Delta= 0$, 所以 \[ x^2+2x+1= (x+1)^2.\]
以上讨论均限制实数范围. 高中数学将介绍复数 (包含了实数), 而关于 $x$ 的二次方程 $ax^2+bx+c= 0$ ($a\neq 0$) 一定有复数解, 所以 $ax^2+bx+c$ 一定可以在复数范围内因式分解;