二次三项式的因式分解 #
因式分解是将多项式写成两个或多个次数较低的多项式之积, 如 \[\begin{gathered} x^2+3x+2= (x+1)(x+2),\\ x^3-2x^2-3x= x(x+1)(x-3). \end{gathered}\] 因式分解时一般逆用多项式乘法公式. 这里简要回顾关于 $x$ 的整系数二次三项式 \[ ax^2+bx+c\quad (a\neq 0)\] 的因式分解方法.
在对上述二次三项式因式分解时, 常用方法是
- “提”: 提公因式
- “套”: 套公式
- “十字”: 用十字相乘法
具体来说, 在进行因式分解时, 应先将公因式提出, 并使得系数为整数, 以简化计算. 然后尝试套用平方差公式 \[ a^2-b^2= (a+b)(a-b)\] 或完全平方公式 \[ a^2\pm 2ab+b^2= (a\pm b)^2.\] 后一公式的加号情形可以用结合图形记忆: 图中大正方形的面积 $(a+b)^2$ 等于两个小正方形的面积 $a^2, b^2$ 和两个小长方形的面积 $2ab$ 之和.
如果无法使用上述两个公式, 则可考虑十字相乘法, 即利用公式 \[ x^2+(a+b)x+ab= (x+a)(x+b).\] 上述公式也可以结合图形的面积来记忆 (参考上图容易作出对应的图形). 使用该公式时, 一般先将常数项分解, 然后拼凑出一次项系数. 对于无法快速判断系数分解方式的二次三项式, 有时也考虑用配方法或求根法 (见 一元二次方程的求根公式) 来进行因式分解. 下面先给出一些对二次三项式 $ax^2+bx+c$ ($a\neq 0$) 应用十字相乘法的例子, 然后介绍配方法.
情形一: 二次项系数 $a=1$ #
分解因式:
(1) $x^2+7x+6$; (2) $x^2-13x+36$.
(1) 常数 $6= 1\times 6= 2\times 3$, 而一次项系数 $7=1+6$, 所以 \[\begin{aligned} &x^2+7x+6\\ ={}& x^2+(1+6)x+1\times 6\\ ={}& (x+1)(x+6). \end{aligned}\]
(2) 常数 $36$ 有多种分解方式, 考虑到一次项系数为 $-13$, 所以选择 $36=(-4)\times(-9)$, 相应地, \[\begin{aligned} &x^2-13x+36\\ ={}& x^2-(4+9)x+(-4)\times (-9)\\ ={}& (x-4)(x-9). \end{aligned}\]
由上例可以看出, 当常数项为正数时, 应将其分解为两个同号因数, 它们的符号与一次项系数的正负号相同.
分解因式:
(1) $x^2+5x-24$; (2) $x^2-2x-15$.
(1) 若将 $24$ 分解为 $3\times 8$, 恰有 $8-3=5$, 所以将 $-24$ 分解为 $(-3)\times 8$, 且 \[\begin{aligned} &x^2+5x-24\\ ={}& x^2+(-3+8)x+(-3)\times 8\\ ={}& (x-3)(x+8). \end{aligned}\]
(2) 类似地, 将 $-15$ 分解为 $3\times(-5)$, 相应地, \[\begin{aligned} &x^2-2x-15\\ ={}& x^2+(3-5)x+3\times (-5)\\ ={}& (x+3)(x-5). \end{aligned}\]
由上例可以看出, 当常数项为负数时, 应将其分解为两个异号的因数, 其中绝对值较大的因数与一次项系数的正负号相同.
分解因式:
(1) $x^2+6x+5$; (2) $x^2-4x-21$;
(3) $x^2-11x+30$; (4) $x^2-x-12$.
参考答案
(1) $(x+1)(x+5)$; (2) $(x+3)(x-7)$;
(3) $(x-5)(x-6)$; (4) $(x+3)(x-4)$.
分解因式:
(1) $x^2+xy-6y^2$; (2) $(x^2+x)^2-8(x^2+x)+12$.
(1) 原式可视为关于 $x$ 的二次三项式, 并将 $y$ 视为已知数, 则应将 $-6y^2$ 分解. 考虑到一次项系数为 $y$, 所以将 $-6y^2$ 分解为 $(-2y)\cdot 3y$, 故 \[\begin{aligned} &x^2+xy-6y^2\\ ={}& x^2+(-2y+3y)x+(-2y)\cdot 3y\\ ={}& (x-2y)(x+3y). \end{aligned}\]
(2) 此处可将 $x^2+x$ 视为整体, 再将常数项 $12$ 分解为 $(-2)\times(-6)$, 则 \[\begin{aligned} &(x^2+x)^2-8(x^2+x)+12\\ ={}& (x^2+x-2)(x^2+x-6)\\ ={}& (x-1)(x+2)(x-2)(x+3). \end{aligned}\] 注意, 分解之后的因式若可以继续分解, 则应分解完全 (如本例).
分解因式:
(1) $x^4-7x^2-18$; (2) $a^4-a^2b^2-12b^4$.
参考答案
(1) $(x^2+2)(x+3)(x-3)$;
(2) $(a^2+3b^2)(a+2b)(a-2b)$.
情形二: 二次项系数不为 $1$ #
此时需要逆用 (即由下面得到上面) 乘法公式 \[\begin{aligned} &(a_1x+b_1)(a_2x+b_2)\\ ={}& a_1a_2x^2+(a_1b_2+a_2b_1)x+b_1b_2. \end{aligned}\] 从式子的特点可以看出, 若要从下面的式子变形为上面的式子, 需要将二次项系数和常数项同时分解, 然后拼凑出一次项的系数. 具体操作可参考如下分解: \[\begin{array}{ccc} a_1\!\!\!\!\! & & b_1\\ & \Huge\times\!\! & \\ a_2\!\!\!\!\! & & b_2 \end{array}\rightarrow a_1b_2+a_2b_1.\] 第一列两个因子 $a_1$, $a_2$ 由分解二次项系数 $a_1a_2$ 得到, 第二列两个因子 $b_1$, $b_2$ 由分解常数项 $b_1b_2$ 得到. 这两列系数沿“十字”所示方向相乘后, 再相加即得一次项 (交叉项) 系数 $a_1b_2+a_2b_1$. 这一分解过程恰好也说明了“十字相乘法”名称的由来. 为了计算方便, 上面的“十字”式有时也列成 \[\begin{array}{ccc} a_1x\!\!\!\!\! & & b_1\\ & \Huge\times\!\! & \\ a_2x\!\!\!\!\! & & b_2 \end{array}\]
分解因式:
(1) $12x^2-5x-2$; (2) $5x^2+6xy-8y^2$.
(1) 二次项系数和常数项分解如下: \[\begin{array}{ccc} 3x\!\!\!\!\! & & -2\\ & \Huge\times\!\! & \\ 4x\!\!\!\!\! & & 1 \end{array}\rightarrow 3x\cdot 1+4x\cdot (-2)= -5x,\] 故 \[12x^2-5x-2= (3x-2)(4x+1).\]
(2) 将 $y$ 视为常数, 二次项系数和常数项分解如下: \[\begin{array}{ccc} x\!\!\!\!\! & & 2y\\ & \Huge\times\!\! & \\ 5x\!\!\!\!\! & & -4y \end{array}\rightarrow x\cdot (-4y)+ 5x\cdot 2y= 6xy,\] 则 \[ 5x^2+6xy-8y^2= (x+2y)(5x-4y).\]
分解因式:
(1) $3x^2+11x+6$; (2) $2a^2+ab-3b^2$.
参考答案
(1) $(3x+2)(x+3)$; (2) $(2a-3b)(a+2b)$.
配方法 #
对关于 $x$ 的二次式 $x^2+bx+c$ 配 (平) 方是指利用完全平方公式, 由一次项系数 $b$ 确定常数 $\biggl(\dfrac{b}2\biggr)^2$ 即 $\dfrac{b^2}4$, 并将原式表示为完全平方式与另一个常数的和, 即 \[\begin{aligned} x^2+bx+c &= x^2+bx+\frac{b^2}4+ c-\frac{b^2}4\\ &= \biggl(x+\frac{b}2\biggr)^2+ c-\frac{b^2}4. \end{aligned}\] 对关于 $x$ 的二次式 $ax^2+bx+c$ ($a\neq 0$) 配方, 只需要先提出二次项系数 $a$, 即 \[\begin{aligned} ax^2+bx+c &= a\biggl(x^2+\frac{b}a x\biggr)+ c\\ &= a\biggl(x^2+\frac{b}a x+ \frac{b^2}{4a^2}\biggr)+ c-\frac{b^2}{4a}\\ &= a\biggl(x+\frac{b}{2a}\biggr)^2+ \frac{4ac-b^2}{4a}. \end{aligned}\] 对二次三项式配方后, 再利用平方差公式, 即可完成因式分解, 见下面的例子.
分解因式:
(1) $x^2+6x-16$; (2) $2x^2+3x-2$.
(1) 先配方, 再利用平方差公式, \[\begin{aligned} x^2+6x-16 &= (x^2+6x+9)-9-16\\ &= (x+3)^2- 5^2\\ &= (x+3-5)(x+3+5)\\ &= (x-2)(x+8). \end{aligned}\]
(2) 先提二次项系数, 再配方, \[\begin{aligned} 2x^2+3x-2 &= 2\biggl(x^2+ \frac32x- 1\biggr)\\ &= 2\biggl(x^2+ \frac32x+ \frac9{16}- \frac{25}{16}\biggr)\\ &= 2\biggl[\biggl(x+ \frac34\biggr)^2- \biggl(\frac54\biggr)^2\biggr]\\ &= 2\biggl(x+\frac34- \frac54\biggr)\biggl(x+\frac34+ \frac54)\\ &= 2\biggl(x- \frac12\biggr)(x+2)\\ &= (2x-1)(x+2). \end{aligned}\]
由上面的例子可以看出, 配方法的计算量有时会比较大 (容易出错), 所以通常还是优先考虑十字相乘法. 但如果不容易试出十字相乘法中系数的分解方式, 也不妨试试配方法. 此外, 配方这一变形技巧也能用于解一元二次方程、确定一元二次函数图象 (抛物线) 的顶点. 因此, 仍有必要掌握配方法的主要思路.
(1) 一般的平方和, 如 $x^2+1$, 是无法因式分解的. 如若不然, 可设 \[ x^2+1= (x+a)(x+b),\] 其中 $a,b$ 是待定常数. 右边展开后为 $x^2+(a+b)x+ab$, 与左边对比, 对应项系数应该相等, 即 \[\left\{\!\!\begin{array}{l} 0= a+b,\\ 1= ab, \end{array}\right.\] 由第一式得 $b=-a$, 代入第二式有 $a^2=-1$, 在实数范围内无解. 所以假设不成立, 即 $x^2+1$ 无法 (在实系数范围内) 因式分解. 同样地, $x^2+4y^2$, $9x^2+y^2$ 等, 一般也不考虑对其因式分解.
(2) 但有些特殊的平方和 (不常见), 如 $x^4+4= (x^2)^2+ 2^2$, 可以因式分解, 因为 \[\begin{aligned} x^4+4 &= x^4+4+4x^2- 4x^2\\ &= (x^2+2)^2- (2x)^2\\ &= (x^2+2- 2x)(x^2+1+ 2x)\\ &= (x^2- 2x+2)(x^2+ 2x+2). \end{aligned}\]