初中函数提要 #
函数用于表示两个变量 (自变量记为 $x$, 因变量记为 $y$) 的对应关系, 从代数的角度得到解析式, 从几何的角度则得到图象. 函数知识的典型特征是“数形结合”, 即数、式与图象紧密关联, 式的变化引起图象的变化, 反之亦然. 利用描点法可以从已知的函数解析式大致描绘对应的图象; 若已知图象对应的函数类型, 也可以利用图象上的点的坐标确定对应的解析式. 初中函数的主要内容是坐标系、一次函数、反比例函数、二次函数等.
数轴与平面直角坐标系 #
数轴体现的是实数与点的对应 (一维), 即用实数来表示数轴上点的位置. 平面直角坐标系体现的是有序实数对 (两个实数) 与点的对应 (二维), 即用有序实数对来表示平面内点的位置. 关于点的坐标, 需要掌握如下结论:
- 数轴上两点 $A(x_1)$, $B(x_2)$ 之间的距离 $|AB|= |x_1-x_2|$, 平面直角坐标系内两点 $C(x_1,y_1)$, $D(x_2,y_2)$ 之间的距离 \[|CD|= \sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}\]
- 数轴上两点 $A(x_1)$, $B(x_2)$ 的中点为 $M\Bigl(\dfrac{x_1+x_2}2\Bigr)$, 平面直角坐标系内两点 $C(x_1,y_1)$, $D(x_2,y_2)$ 的中点为 $N\Bigl(\dfrac{x_1+x_2}2, \dfrac{y_1+y_2}2\Bigr)$
函数的图象和性质 #
函数关系体现的是数与数的对应. 初中数学介绍的一次函数、二次函数、反比例函数, 均是将因变量 $y$ 用含自变量 $x$ 的式子 (解析式) 表示, 简要罗列如下 (详见后续内容):
- 一次函数: 形如 $y=kx+b$ ($k\neq 0$), 图象为直线; 当 $k>0$ 时单调上升, 当 $k<0$ 时单调下降; 当 $b=0$ 时, $y=kx$ ($k\neq 0$) 也称为正比例函数
- 二次函数: 形如 $y=ax^2+bx+c$ ($a\neq 0$), 图形为抛物线; 当 $a>0$ 时, 开口向上, 当 $a<0$ 时, 开口向下
- 反比例函数: 形如 $y=\dfrac{k}{x}$ ($k\neq 0$), 图形为双曲线; 当 $k>0$ 时, 图形落在第一、三象限且分段单调递减, 当 $k<0$ 时, 图形落在第二、四象限且分段单调递增
锐角三角函数值 #
锐角三角函数值是用直角三角形中两边的比值来定义的. 设 $\mathrm{Rt}\triangle ABC$ 中, $\angle C=90^\circ$, 且 $\angle A,\angle B,\angle C$ 分别对应边 $a,b,c$, 则对锐角 $\angle A$ 而言,
- 正弦值 $\sin\angle A= \dfrac{a}c$, 简称为“对比斜”, 取值大于 $0$ 且小于 $1$
- 余弦值 $\cos\angle A= \dfrac{b}c$, 简称为“邻比斜”, 取值也大于 $0$ 且小于 $1$
- 正切值 $\tan\angle A= \dfrac{a}b$, 简称为“对比邻”, 可取大于 $0$ 的任意值
特殊的锐角三角函数值罗列如下: \[\begin{array}{c|ccc} \hline \rule[-1ex]{0ex}{3.5ex}\angle A& 30^\circ & 45^\circ & 60^\circ \\ \hline \rule[-2.5ex]{0ex}{7ex}\sin\angle A & \dfrac12 & \dfrac{\sqrt2}2 & \dfrac{\sqrt3}2 \\ \rule[-2.5ex]{0ex}{7ex}\cos\angle A & \dfrac{\sqrt3}2 & \dfrac{\sqrt2}2 & \dfrac12 \\ \rule[-2.5ex]{0ex}{7ex}\tan\angle A & \dfrac{\sqrt3}3 & 1 & \sqrt3\\ \hline \end{array}\]
以上各值可以结合含 $30^\circ$ 或 $45^\circ$ 的直角三角形的三边比例关系来记忆.
后续内容 #
以下回顾数轴与平面直角坐标系、一次函数与反比例函数、二次函数与二次不等式、函数图象的变换等内容.