数轴与平面直角坐标系 #

数轴与平面直角坐标系用坐标分别刻画了直线 (一维空间) 上和平面 (二维空间) 内各点的位置. 用坐标表示点的位置后, 可方便地计算线段的长度、确定线段中点的位置, 或者计算平面图形 (如三角形, 四边形) 的面积等.

数轴 #

数轴是规定了原点 (记为 $O$) 和正方向 (通常由左至右) 的直线, 其上的点与实数一一对应,

• 点在原点的左、右对应实数的正、负
• 点到原点的距离对应实数的绝对值

例如, 若点 $A$ 在原点左侧, 且到原点的距离为 $2$, 则点 $A$ 表示实数 $-2$; 实数 $\sqrt3$ 对应的点在原点右侧, 且到原点的距离为 $\sqrt3$. 由 $|-2|>|\sqrt3|$ 知, 点 $B$ 离原点 $O$ 更近一些.

若点 $A$ 与实数 $x_1$ 对应, 则称 $x_1$ 为点 $A$ 的坐标, 可记为 $A(x_1)$ (或将点 $A$ 称为点 $x_1$). 对于点 $A(x_1)$ 和 $B(x_2)$, 若 $x_1> x_2$, 则可验证 $|AB|= x_1-x_2$; 而若 $x_1< x_2$, 则 $|AB|= x_2-x_1$ (即总是“大数减小数”), 因此可得 $A(x_1)$, $B(x_2)$ 两点之间距离公式 \[ |AB|= |x_1-x_2|.\]

上式可以帮助理解绝对值的几何意义: $|x|$ 表示点 $x$ 到原点的距离, 而 $|x-1|$ 表示点 $x$ 到点 $1$ 的距离, $|x+2|= |x-(-2)|$ 表示点 $x$ 到点 $-2$ 的距离, \[ |2x+1|= 2\biggl|x- \biggl(-\dfrac12\biggr)\biggr|\] 表示点 $x$ 到点 $-\dfrac12$ 的距离的 $2$ 倍.

设点 $A(x_1)$ 和 $B(x_2)$ 的中点为 $M(x_0)$. 若 $x_1< x_2$, 由点 $M$ 在 $A$, $B$ 中间可知, $x_1< x_0< x_2$, 再由 $|AM|= |MB|$ 得 \[ x_0- x_1= x_2- x_0,\quad\text{即}\quad x_0= \frac{x_1+x_2}2.\] 若 $x_1> x_2$, 同样可推出上式. 此即线段 $AB$ 的中点坐标公式.

平面直角坐标系 #

在平面上作两条互相垂直且原点重合的数轴, 就得到平面直角坐标系. 原点仍记为 $O$, 两条数轴分别称为 $x$ 轴 (横轴), $y$ 轴 (纵轴), 统称为坐标轴, 所在平面称为 $Oxy$ 平面. 如下图所示, 过平面上一点 $P$ 分别向 $x$ 轴和 $y$ 轴作垂线段, 则两个垂足对应的数轴刻度组成一组有序实数 $(x_0, y_0)$ 为点 $P$ 的坐标, 其中 $x_0$, $y_0$ 分别称为点 $P$ 的横坐标和纵坐标.

特别地, $x$ 轴上点的纵坐标为 $0$, $y$ 轴上点的横坐标为 $0$. 由定义, 纵坐标相等的点在同一条水平直线上, 而横坐标相等的点在同一条竖直直线上.

平面直角坐标系的坐标轴将整个平面分割为四个象限 (不计坐标轴自身), 右上角为第一象限, 沿逆时针方向分别为第二、三、四象限. 各个象限内点的横坐标、纵坐标的正负号是确定的, 如下图所示.

取两点 $A(x_1,y_1)$, $B(x_2,y_2)$, 连接 $AB$, 并过这两点分别作 $x$ 轴和 $y$ 轴的垂线, 可得一个直角三角形. 由数轴上两点之间距离公式可得两条直角边的长度分别为 $|x_1-x_2|$, $|y_1-y_2|$, 再由勾股定理可知 $A(x_1,y_1)$, $B(x_2,y_2)$ 两点之间的距离公式 \[ |AB|= \sqrt{(x_1-x_2)^2+ (y_1-y_2)^2}.\]

设点 $A(x_1,y_1)$, $B(x_2,y_2)$ 的中点为 $M(x_0,y_0)$, 过这三点分别作 $x$ 轴和 $y$ 轴的垂线, 由数轴上线段中点坐标公式可得线段 $AB$ 的 中点坐标公式: \[ \left\{\!\!\begin{array}{l} x_0= \dfrac{x_1+x_2}2,\\[6pt] y_0= \dfrac{y_1+y_2}2, \end{array}\right.\quad\text{即}\quad M\biggl(\frac{x_1+x_2}2, \frac{y_1+y_2}2\biggr).\]

已知平行四边形以点 $A(1,1)$, $B(2,3)$, $C(4,2)$ 为三个顶点, 求第四个顶点 $D$ 的坐标.

设 $D(x,y)$, 由于题中未指明四个顶点的顺序, 所以需要分三种情况讨论.

如下图所示, 若 $AC$, $BD$ 为对角线, 则两者互相平分, 由中点坐标公式, \[\left\{\!\!\begin{array}{l} \dfrac{1+4}2= \dfrac{2+x}2,\\[6pt] \dfrac{1+2}2= \dfrac{3+y}2, \end{array}\right.\quad\text{解得}\quad \left\{\!\!\begin{array}{l} x= 3,\\[6pt] y= 0, \end{array}\right.\] 即 $D(3,0)$.

同理, 若 $AB$, $CD$ 为对角线, 则$D(-1,2)$; 若 $AD$, $BC$ 为对角线, 则 $D(5,4)$.

综上所述, 点 $D$ 的坐标为 $(3,0)$, $(-1,2)$ 或 $(5,4)$.

已知 $A(2,3)$, $B(4,2)$, 求 $\triangle OAB$ 的面积 $S_{\triangle OAB}$ .

作如下图所示的辅助线, 可知所求面积为矩形面积减去三个三角形的面积, 即 \[\begin{aligned} S_{\triangle OAB} &= S_{ODEC}- S_{\triangle ODB} - S_{\triangle BEA}- S_{\triangle OAC} \\ &= 4\times 3- \frac{4\times 2}2- \frac{1\times 2}2- \frac{3\times 2}2\\ &= 12- 4- 1- 3= 4. \end{aligned}\]

点的变换 #

点的变换一般指点的平移、轴对称、中心对称、旋转, 下面简要介绍在平面直角坐标系中的相关结论, 所有结论均应结合图形 (自行作图) 来理解和记忆.

点的平移 #

点在坐标平面内的平移可以分解为沿 $x$ 轴和 $y$ 轴方向的平移. 设 $a>0$, 则将点 $P(x,y)$

• 向左平移 $a$ 个单位长度, 得到点 $P_1(x-a,y)$
• 向右平移 $a$ 个单位长度, 得到点 $P_2(x+a,y)$
• 向上平移 $a$ 个单位长度, 得到点 $P_3(x,y+a)$
• 向下平移 $a$ 个单位长度, 得到点 $P_4(x,y-a)$

点的轴对称 #

设点 $P(x,y)$ 关于直线 $l$ 的对称点为 $P’$, 则 $l$ 是线段 $PP’$ 的中垂线, 即 $PP’\perp l$ 且 $PP’$ 的中点在 $l$ 上. 此处只介绍当 $l$ 平行于坐标轴时的结论. 设 $b$ 为任意实数, 则

(1) 当 $l$ 为 $x$ 轴时, 对称点为 $P’(x,-y)$;

(2) 当 $l$ 为 $y$ 轴时, 对称点为 $P’(-x,y)$;

(3) 当 $l$ 平行于 $x$ 轴且其上点的纵坐标均为 $b$ 时, 对称点 $P’$ 的横坐标与点 $P$ 的横坐标相同, 而 $PP’$ 的中点在 $l$ 上表明中点的纵坐标为 $b$, 所以由中点坐标公式, 对称点为 $P’(x,2b-y)$;

(4) 当 $l$ 平行于 $y$ 轴且其上点的横坐标均为 $b$ 时, 同理可得对称点为 $P’(2b-x,y)$.

点的中心对称 #

设点 $P(x_1,y_1)$ 关于点 $M(x_0,y_0)$ 的对称点为 $P'(x_2,y_2) $, 则 $M$ 是线段 $PP'$ 的中点, 所以 \[\left\{\!\!\begin{array}{l} x_0= \dfrac12(x_1+x_2),\\[6pt] y_0= \dfrac12(y_1+y_2), \end{array}\right.\quad\text{即}\quad \left\{\!\!\begin{array}{l} x_2= 2x_0-x_1,\\ y_2= 2y_0-y_1, \end{array}\right.\] 表明点 $P'$ 的坐标为 $(2x_0-x_1,2y_0-y_1)$.

点的旋转 (逆时针 $90^\circ$) #

设点 $P(x,y)$ 绕原点 $O$ 分别逆时针旋转 $90^\circ,180^\circ,270^\circ$ 后得到点 $P’,P’’,P’’’$. 下面分析旋转后点的坐标与点 $P(x,y)$ 的关系.

先考虑具体的点 $P_1(1,2)$, 作图可知, 其关于原点 $O$ 逆时针旋转 $90^\circ$ 后得到点 $P_2(-2,1)$, 再次逆时针旋转 $90^\circ$ 后得到点 $P_3(-1,-2)$, 继续逆时针旋转 $90^\circ$ 后得到点 $P_4(2,-1)$. 以点 $P_1$, $P_2$, $P_3$, $P_4$ 中的任意一点为点 $P$, 可得结论:

点 $P(x,y)$ 绕原点 $O$ 逆时针旋转 $90^\circ$ 后得到点 $P’(-y,x)$ (横纵坐标对调, 且原纵坐标添负号).

上述结论的一个简单推论是: 点 $P(x,y)$ 绕原点 $O$ 逆时针旋转 $180^\circ$ 后得到点 $P’’(-x,-y)$ (实为关于原点的中心对称), 逆时针旋转 $270^\circ$ 后得到点 $P’’’(y,-x)$.

如下图所示, 以 $\triangle ABC$ 的两边 $AB$, $AC$ 为边长, 向外作分别作正方形 $ABDE$ 和正方形 $ACFG$. 点 $H$ 为 $BC$ 中点, 点 $I$ 为 $DF$ 中点. 求证: \[ HI\perp BC,\quad HI= \frac12 BC.\]

以 $BC$ 为 $x$ 轴, $BC$ 边上的高 $AO$ 所在的直线为 $y$ 轴, 建立如下图所示的坐标系. 设 \[ |AO|=a,\ |BO|=b,\ |CO|=c\quad (a,b,c>0),\] 则 $B(-b,0)$, $C(c,0)$, $H\Bigl(\dfrac{b-c}2,0\Bigr)$. 利用全等三角形可知, \[ D(-(a+b),b),\quad F(a+c,c),\] 则 $I\Bigl(\dfrac{b-c}2,\dfrac{b+c}2\Bigr)$. 由于点 $H$ 与 $I$ 横坐标相同, 所以 $HI\perp$ $x$ 轴, 即 $HI\perp BC$. 再利用坐标计算得, \[ |HI|= \frac{b+c}2= \frac12 |BC|.\]

如下图所示, 以 $\triangle ABC$ 的两边 $AB$, $AC$ 为边长, 向外作分别作正方形 $ABDE$ 和正方形 $ACFG$. 再过点 $A$ 作直线, 交 $BC$ 于点 $H$, 交 $EG$ 于点 $I$.

(1) 若 $I$ 为 $EG$ 的中点, 求证: $AH\perp BC$;

(2) 若 $AH\perp BC$, 求证: $I$ 为 $EG$ 的中点.