函数图象的变换 #
研究函数图象的变换时, 考虑的是其上点坐标的变换, 并利用原函数图象解析式得到新函数图象解析式. 以下回顾函数图象平移与对称变换对解析式的影响. 虽然下面的讨论中利用的是一次函数、反比例函数、二次函数的图象, 但是讨论方法和所得的结论对所有函数 (含高中将学到的各类函数) 均适用. 高中数学还将学习更多的图象变换方法.
平移 #
函数图象的平移有两种: 左、右平移, 上、下平移. 先回顾左、右平移的情形.
抛物线 $y=x^2$ 的开口向上、顶点为原点且对称轴为 $y$ 轴, 将其向右平移 $1$ 个单位长度后, 确定新图象的解析式通常有两种方法. 方法之一为: 因为新图象仍为开口向上的抛物线, 且顶点为 $(1,0)$、对称轴为直线 $x=1$, 所以根据抛物线解析式的特征, 所求的解析式为 $y=(x-1)^2$. 更一般的方法是无须判断平移后的图象类型, 直接根据平移方式和已有解析式写出新图象的解析式. 具体解法如下:
任取新图象上一点 $P’(x’,y’)$, 向左平移 $1$ 个单位长后, 得到抛物线 $y=x^2$ 上的对应点 $P(x’-1,y’)$, 由抛物线 $y=x^2$ 上点的横、纵坐标之间的关系可知 $y’= (x’-1)^2$. 这就是新图象上点的横、纵坐标之间的关系, 换成常用的记号可得所求解析式为 $y= (x-1)^2$.
上述解法的思路是先对新图象上的任一点作与原变换相反的变换, 得到在旧图象上的对应点, 再由旧图象上点的横、纵坐标之间的关系直接得到所求解析式. 这也是求解由函数图象的变换所得的新解析式的通用方法, 即先还原点的位置, 再代入旧解析式.
再比如, 抛物线 $y= x^2+2x$ 向左平移 $1$ 个单位长度后, 新图象上的任一点 $(x’,y’)$ (向右平移 $1$ 个单位长度) 对应旧图象上的点 $(x’+1,y’)$, 所以 \[ y’= (x’+1)^2+2(x’+1)= x’^2+4x’+3,\] 即新图象的解析式为 $y=x^2+4x+3$ (图象仍为抛物线).
设 $a>0$, 从上面两个例子可知, 将函数图象向右平移 $a$ 个单位长度, 就是将解析式中的 $x$ 换成 $x-a$ (新点左移对应旧点); 将函数图象向左平移 $a$ 个单位长度, 就是将解析式中的 $x$ 换成 $x+a$ (新点右移对应旧点). 有时也将此结论简记为“左加右减”.
再回顾上、下平移的情形. 这时上述方法仍有效, 过程略有一点变化. 例如, 将抛物线 $y= x^2$ 向上平移 $1$ 个单位长度, 新图象上的任一点 $(x’,y’)$ (向下平移 $1$ 个单位长度) 对应旧图象上的点 $(x’,y’-1)$, 所以 \[ y’-1= x’^2\Rightarrow y’= x’^2+1,\] 即新图象的解析式为 $y=x^2+1$ (图象仍为抛物线).
此时更好的方法是直接观察新图象与旧图象的对应点的纵坐标的关系. 将抛物线 $y= x^2$ 向上平移 $1$ 个单位长度, 所有点的纵坐标增加 $1$, 表明函数值整体增加 $1$, 所以可得新图象为抛物线 $y=x^2+1$. 同样地, 将抛物线 $y= x^2+2x$ 向下平移 $1$ 个单位长度, 可得抛物线 $y=x^2+2x-1$.
设 $b>0$, 由上述例子可知, 将函数图象向上平移 $b$ 个单位长度, 就是将解析式整体加上 $a$; 将函数图象向下平移 $b$ 个单位长度, 就是将解析式整体减去 $b$. 有时也将此结论简记为“上加下减”.
因为利用了点变换时坐标变化的规律, 所以上述“左加右减”只针对 $x$ 自身. 例如, 直线 $y= 2x+1$ 向左平移 $1$ 个单位长度得到直线 \[ y= 2(x+1)+1= 2x+3.\] 而“上加下减”只针对整个解析式 (即 $y$).
用类似的分析可以知道, 对解析式中的 $x$ 或整个解析式加上 (减去) 常数, 对应了图象的平移变换. 例如, 直线 $y= 2x+1$ 可由直线 $y=2x$ 向上平移 $1$ 个单位长度 (或向左平移 $\dfrac12$ 个单位长度) 得到. 这种图象变换方法可以用来作出一些函数的草图.
绘制函数 $y= \dfrac1{x-1}+1$ 图象的草图.
本例虽然可以直接描点绘图, 但是用图象平移的方法绘图更简单. 对照双曲线 $y= \dfrac1x$ 可知, 结合图象平移对函数解析式的影响, 可得 \[\begin{aligned} y= \dfrac1x &\xrightarrow{\text{右 $1$}} y=\dfrac1{x-1} \\ &\xrightarrow{\text{上 $1$}} y=\dfrac1{x-1}+1. \end{aligned}\] 由于根据双曲线的渐近线可以大致绘出双曲线, 所以绘图之前应先确定平移后的渐近线. 所求图象见下图.
(1) 平移的顺序不影响最后的图象, 中间过程会略有差别. 上例的另一种平移方式为 \[\begin{aligned} y= \dfrac1x &\xrightarrow{\text{上 $1$}} y=\frac1x+ 1 \\ &\xrightarrow{\text{右 $1$}} y=\dfrac1{x-1}+1. \end{aligned}\]
(2) 利用图象变换绘图时, 必须掌握常见函数图象的形状, 并分析要绘制图象的函数解析式与常见函数解析式的关系, 从而确定对应的图象变换. 除了一次函数、二次函数、反比例函数, 高中还会学习更多的常见函数.
运用图象平移的方法绘制函数 $y= x^2+2x+2$ 的草图.
参考答案
利用配方, 解析式可以改写为 $y= (x+1)^2+1$. 将抛物线 $y=x^2$ 向左平移 $1$ 个单位后, 再向上平移 $1$ 个单位长度, 就可以得到所求图象.
对称 #
关于函数图象的对称变换, 这里只考虑特殊的关于 $x$ 轴、$y$ 轴的对称, 以及将图象在 $x$ 轴下方的部分翻折到上方 (高中会继续学习将图象在 $y$ 轴右侧的部分翻折到左侧时的解析式变化规律).
作抛物线 $y= x^2+x+1$ 关于 $y$ 轴的对称图形, 新图象上的任一点 $(x’,y’)$ 关于 $y$ 轴的对称点 $(-x’,y’)$ 在旧图象上, 所以 \[ y’= (-x’)^2+(-x’)+1= x’^2-x’+1,\] 即新图象的解析式为 $y= x^2-x+1$ (图象仍为抛物线). 同样地, 作直线 $y=x+1$ 关于 $y$ 轴的对称图形, 新图象为直线 $y= -x+1$. 所以作函数图象关于 $y$ 轴的对称图形等价于将函数解析式中的 $x$ 换为 $-x$.
作抛物线 $y= x^2+x$ 关于 $x$ 轴的对称图形, 新图象上的任一点 $(x’,y’)$ 关于 $x$ 轴的对称点 $(x’,-y’)$ 在旧图象上, 所以 \[ -y’= x’^2+x’\Rightarrow y’= -(x’^2+x’),\] 即新图象的解析式为 $y= -(x^2+x)$ (图象仍为抛物线). 同样地, 作直线 $y=x+1$ 关于 $x$ 轴的对称图形, 新图象为直线 $y= -(x+1)$. 所以作函数图象关于 $x$ 轴的对称图形等价于对函数解析式整体添负号 (即 $y$ 变成 $-y$).
考虑函数 $y=x^2+x$ 和 $y= |x^2+x|$ 可知, 对相同的 $x$, 后者的 $y$ 值是前者的 $y$ 值的绝对值, 体现在图象上就是将前者图象上在 $x$ 轴下方的点 (对应的 $y<0$)“翻折”到 $x$ 轴上方 (关于 $x$ 轴作对称), 而原本在 $x$ 轴上和上方的点保持不变. 由此可知, 将函数图象在 $x$ 轴下方的部分翻折到上方等价于对函数解析式整体取绝对值 (即 $y$ 变成 $|y|$).
