一次函数与反比例函数 #

利用函数可以动态地分析问题和解决问题. 不同类型的函数有不同的性质, 一次函数与反比例函数是两类较简单的函数.

一次函数 #

一次函数的解析式为 $y= kx+b$ ($k\neq 0$). 函数 $y=kx$ ($k\neq 0$) 是特殊的一次函数, 通过描点绘图可知, 其图象为过原点的直线, 且

• 当 $k>0$ 时, 直线过第一、三象限 (从左向右观察为上升)
• 当 $k<0$ 时, 直线过第二、四象限 (从左向右观察为下降)
• 当 $k$ 逐渐增大时, 图象绕原点逆时针旋转
• 当 $|k|$ 越大时, 直线越“陡峭”

函数 $y=x$ 的图象除了过原点和第一、三象限, 还与 $x$ 轴、$y$ 轴夹角均为 $45^\circ$, 通常也称为第一、三象限的角平分线. 类似地, 函数 $y=-x$ 的图象称为第二、四象限的角平分线.

一般的一次函数 $y= kx+b$ ($k\neq 0$) 的图象仍为直线, 因此一次函数也称为线性函数. 其图象可由对应的 $y=kx$ 的图象平移得到: 对相同的 $x$, 两者的 $y$ 有固定的差值. 例如, $y=2x+1$ 的图象可由 $y=2x$ 的图象向上平移一个单位长度得到, $y= -x-2$ 的图象可由 $y= -x$ 的图象向下平移两个单位长度. 由此可得, $k$ 的正负号决定了 $y= kx+b$ 的函数值随 $x$ 变化的趋势:

• 当 $k>0$ 时, $y$ 随 $x$ 增加而增加 (函数单调递增)
• 当 $k<0$ 时, $y$ 随 $x$ 增加而减少 (函数单调递减)

一次函数 $y= kx+b$ 的解析式也可视为关于 $x$ 和 $y$ 的二元一次方程, 该方程的所有解 $(x,y)$ 构成平面直角坐标系内一条直线. 更进一步, 计算两条直线的交点坐标, 对应求解由它们的解析式组成的二元一次方程组. 这也是计算两个函数图象的交点坐标的一般思路, 即求解联立方程组.

一次函数的图象是直线, 所以需要确定三条直线围成的图形. 将三个解析式两两联立, 解对应的二元一次方程组, 可得三个交点. 例如, 求解 \[\left\{\!\!\begin{array}{l} y=\dfrac32 x,\\[6pt] y= -\dfrac12 x+4, \end{array}\right.\quad\text{可得}\quad \left\{\!\!\begin{array}{l} x=2,\\[6pt] y=3, \end{array}\right.\] 即交点为 $(2,3)$, 记为点 $A$. 同理可得另外两个交点: $O(0,0)$, $B(4,2)$, 所以三条直线围成三角形. 再用割补法可以求得三角形的面积为 $4$.

反比例函数 #

反比例函数的解析式为 $y=\dfrac{k}x$ ($k\neq 0$), 式中 $x$ 与 $y$ 均不为 $0$. 该解析式有时也写成 $xy=k$. 通过描点绘图可知, 反比例函数 $y=\dfrac{k}x$ 的图象有两支, 均以 $x$ 轴和 $y$ 轴为渐近线 (分别称为水平渐近线和竖直渐近线). 此图象称为双曲线, 且

• 当 $k>0$ 时, 双曲线的两支分别在第一、三象限 (均为单调递减)
• 当 $k<0$ 时, 双曲线的两支分别在第二、四象限 (均为单调递增)

简单的分式函数 $y=\dfrac{k}x+b$ ($k\neq 0$) 的图象可以由对应的反比例函数 $y=\dfrac{k}x$ 的图象上下平移得到: 当 $b>0$ 时, 将后者向上平移; 反之向下平移. 由于对应的渐近线也发生平移, 所以在绘图时, 通常先绘出渐近线, 再参照渐近线和 $y=\dfrac{k}x$ 的图象绘出 $y=\dfrac{k}x+b$ 的图象.

利用反比例函数图象可以求解简单的分式不等式. 例如, 解不等式 $\dfrac1x< 1$ 相当于求函数 $y=\dfrac1x$ 的图象上纵坐标小于 $1$ 的所有点 $(x,y)$ (下图中函数图象在水平虚线下方的部分) 的横坐标取值范围, 由图可知, \[ x< 0\ \text{或}\ x>1.\] 如果不借助函数图象, 直接在原不等式两边乘以 $x$, 很容易漏掉 $x< 0$ 这一取值范围 (不等式两边乘以负数, 会改变不等号的方向).

绘出函数 $y= x-2$ 与 $y= \dfrac3x$ 的图象 (分别为直线和双曲线), 并联立解析式求出交点 $(-1,-3)$, $(3,1)$. 解原不等式相当于求直线在双曲线上方的部分的横坐标的取值范围. 结合图形可知, \[ -1< x< 0\ \text{或}\ x>3.\]