二次函数与二次不等式 #
二次函数的图象是对称图象, 能取到最值, 且与二次方程、二次不等式都有联系.
二次函数的定义与图象 #
二次函数的解析式为 $y= ax^2+bx+c$ ($a\neq 0$), 该解析式也称为二次函数的一般式. 下面通过函数图象变换的方法, 逐步得到一般的二次函数的图象.
最简单的二次函数是 $y= x^2$, 通过描点画图可知, 其图象为抛物线, 且顶点为原点, 对称轴为 $y$ 轴, 开口向上 (先减后增). 而二次函数 $y= ax^2$ ($a\neq 0$) 的图象仍为抛物线 (顶点为原点, 对称轴为 $y$ 轴), 且
- 当 $a>0$ 时, 开口向上; 当 $a<0$ 时, 开口向下
- $|a|$ 越大, 开口越小 (函数值变化越大)
二次函数 $y= ax^2+k$ ($a\neq 0$) 的图象可以由 $y= ax^2$ 的图象上、下平移得到. 例如, 将 $y= \dfrac{x^2}2$ 的图象向上平移 $1$ 个单位长度得到 $y= \dfrac{x^2}2+1$ 的图象, 向下平移 $2$ 个单位长度得到 $y= \dfrac{x^2}2-2$ 的图象. 所以, $y= ax^2+k$ 图象的顶点为 $(0,k)$, 对称轴仍为 $y$ 轴.
二次函数 $y= a(x-h)^2$ ($a\neq 0$) 的图象可以由 $y= ax^2$ 的图象左、右平移得到. 例如, 将 $y= \dfrac{x^2}2$ 的图象向左平移 $1$ 个单位长度得到 $y= \dfrac{(x+1)^2}2$ 的图象, 向右平移 $2$ 个单位长度得到 $y= \dfrac{(x-2)^2}2$ 的图象. 所以, $y= a(x-h)^2$ 图象的顶点为 $(h,0)$, 对称轴为直线 $x=h$.
一般的二次函数 $y= ax^2+bx+c$ ($a\neq 0$) 可通过配方化为 \[ y= a\biggl(x+\frac{b}{2a}\biggr)^2+ \frac{4ac-b^2}{4a},\] 或简记为 $y= a(x-h)^2+k$, 并称为二次函数的顶点式. 参考上述分析可知, $y= ax^2+bx+c$ 的图象可由 $y=ax^2$ 平移得到, 即仍为抛物线, 且
- $a$ 的正负号决定了抛物线的开口方向
- $|a|$ 的大小决定了抛物线的开口大小
- 对称轴为 $x= -\dfrac{b}{2a}$
- 顶点为 $(h,k)= \biggl(-\dfrac{b}{2a}, \dfrac{4ac-b^2}{4a}\biggr)$
二次函数 $y= ax^2+bx+c$ 的图象也可以记为抛物线 $y= ax^2+bx+c$. 由以上信息可以很方便地描绘该抛物线的草图. 这些信息都可由顶点式获得, 所以配方法是描绘抛物线草图时的常用方法. 此外, 要得到上面的顶点坐标, 通常是将对称轴横坐标代入二次函数, 计算得到纵坐标.
若二次函数 $y= x^2+ax+b$ 在 $0\leqslant x\leqslant 2$ 时的最大值为 $M$, 最小值为 $m$, 则 $M-m$ 的值与 $a$, $b$ 是否有关?
二次函数 $y= x^2+ax+b$ 的对称轴为 $x=-\dfrac{a}2$, 即 $a$ 决定了轴的位置. 由二次函数图形可知, 当轴恰好过点 $(1,0)$ 时, $M-m=0$; 否则 $M-n\neq 0$, 且对称轴离点 $(1,0)$ 越远, $M-m$ 越大. 所以 $M-m$ 的值与 $a$ 有关.
当常数 $b$ 变化时, 抛物线 $y= x^2+ax+b$ 相应上、下平移, 所以 $M-m$ 固定不变, 即 $M-m$ 的值与 $b$ 无关.
二次函数、二次方程与二次不等式 #
以下均设 $a\neq 0$. 因为 $x$ 轴的解析式为 $y=0$, 与 $y= ax^2+bx+c$ 联立并消去 $y$, 可得对应的关于 $x$ 的二次方程 $ax^2+bx+c=0$, 所以该方程的两根 (如有) 对应了抛物线 $y= ax^2+bx+c$ 与 $x$ 轴的交点横坐标. 因为二次方程的判别式 $\Delta= b^2-4ac$ 的正负号决定了该方程实根的个数, 所以 $\Delta$ 也可用于判断抛物线 $y= ax^2+bx+c$ 与 $x$ 轴交点的个数, 即
- $\Delta>0\Leftrightarrow$ 抛物线与 $x$ 轴有两个不同交点
- $\Delta=0\Leftrightarrow$ 抛物线与 $x$ 轴恰有一个交点 (也称抛物线与 $x$ 轴相切)
- $\Delta<0\Leftrightarrow$ 抛物线与 $x$ 轴没有交点
基于上述结论, $\Delta= b^2-4ac$ 也称为二次函数 $y= ax^2+bx+c$ 的判别式. 抛物线 $y= ax^2+bx+c$ 与 $x$ 轴的交点的横坐标称为二次函数 $y= ax^2+bx+c$ 的零点 (使 $y=0$ 的 $x$ 值). 若二次函数 $y= ax^2+bx+c$ 有两个零点 $x_1$, $x_2$, 即关于 $x$ 的二次方程 $ax^2+bx+c=0$ 有两个实根 $x_1$, $x_2$, 则仍由配方法知, 二次函数解析式可以改写成 \[ y=a(x-x_1)(x-x_2),\] 并称其为二次函数的双根式. 二次函数的一般式、顶点式、双根式各有特点, 且都含 $3$ 个参数. 解题时, 应根据已知条件选择合适的形式以简化计算.
已知关于 $x$ 的二次函数 $y= (x-a)(x-b)-1$ ($a< b$) 的两个零点是 $m$, $n$ ($m< n$), 判断 $a$, $b$, $m$, $n$ 的大小.
考虑辅助函数 $y_1= (x-a)(x-b)$ 可知, 其图象与 $x$ 轴交于点 $(a,0)$ 和 $(b,0)$. 因为 $y= y_1-1$ 的图象可以由辅助函数的图象向下平移一个单位长度得到, 所以该函数的图象与 $x$ 轴的交点应分布在点 $(a,0)$, $(b,0)$ 两侧, 即 \[ m< a< b< n.\]
若上例是选择题或填空题, 则也可以取特殊值. 例如设 $a=0$, $b=2$, 可解出 \[m= 1-\sqrt2\approx -0.414,\quad n= 1+\sqrt2\approx 2.414,\] 同样得到 $m< a< b< n$. 该题也可以用韦达定理求解, 但并不方便.
将上例中的二次函数改为 $y= -(x-a)(x-b)-1$ ($a< b$), 求对应的答案.
参考答案
$a< m< n< b$.
类似地, 关于 $x$ 的二次不等式 $ax^2+bx+c>0$ 的解集对应抛物线 $y= ax^2+bx+c$ 在 $x$ 轴上方部分的横坐标 $x$ 的取值范围, 而 $ax^2+bx+c\leqslant 0$ 的解集对应抛物线 $y= ax^2+bx+c$ 在 $x$ 轴上及下方部分的横坐标 $x$ 的取值范围, 所以 $a$ 和 $\Delta$ 的正、负号共同决定了二次不等式 $ax^2+bx+c>0$ 等是否有解.
解下列不等式:
(1) $x^2+6x+5< 0$; (2) $x^2-4x-21\geqslant 0$.
(1) 不等式化为 \[ (x+2)(x+3)< 0,\] 结合抛物线 $y=(x+2)(x+3)$ 的草图可知, \[ -3< x<-2.\]
(2) 不等式化为 \[ (x+3)(x-7)\geqslant 0,\] 结合抛物线 $y=(x+3)(x-7)$ 的草图可知, \[ x\leqslant -3\ \text{或}\ x\geqslant 7.\]
从二次函数的双根式中可以直接看出零点, 所以解二次函数或二次不等式, 通常先利用因式分解得到双根式.
解下列不等式:
(1) $x^2-11x+30\leqslant 0$; (2) $x^2-x-12>0$.
参考答案
(1) $5\leqslant x\leqslant 6$; (2) $x<-3$ 或 $x>4$.
对于较简单的二次不等式 $x^2< 1$, 除了将其化为 $x^2-1< 0$ 然后用抛物线 $y= x^2-1$ 求解, 也可以直接利用抛物线 $y= x^2$: 此时 $x^2< 1$ 对应的是抛物线 $y= x^2$ 上纵坐标 $y$ 小于 $1$ 的所有点的取值范围. 因为由 $x^2=1$ 得 $x= \pm1$, 而抛物线 $y= x^2$ 开口向上, 所以 $x^2< 1$ 表明 $-1< x< 1$. 类似地, \[ x^2\geqslant 1\Rightarrow x\leqslant -1\ \text{或}\ x\geqslant 1.\]