初中几何提要 #

初中几何的主要内容是平面图形及其性质与判定, 如线段和角、三角形和四边形、圆等. 以下作简要回顾.

线段和角 #

线段可以视为直线的一部分, 其长度为两个端点之间的距离. 线段的长度单位有 mm, cm 等, 在只考虑相对大小而不考虑实际大小时, 也常常省略长度单位. 与线段相关的概念有

• 中点: 线段上到两端距离相等的点 (唯一一个)
• 中垂线: 到线段两端距离相等的所有点 (并不限制在线段上)

角是由同起点的两条射线组成的图形, 可以视为由一条射线绕其端点旋转而成, 旋转辐度为角的大小. 周角 (射线旋转一周) 大小为 $360^\circ$, 平角大小为 $180^\circ$, 直角大小为 $90^\circ$. 角平分线在角内部, 且与角两边所成的角相等. 角平分线由到角两边距离相等的所有点 (点在角内部) 组成.

平面上两条不相交的直线称为平行线, 与平行线相关的结论有

• 两条平行直线被第三条线所截, 同位角、内错角相等, 同旁内角互补 (反之亦然)
• 与同一条直线平行的两条直线互相平行 (平行公理)
• 一组平行线截两条直线, 所截对应线段成比例

三角形 #

三角形由不共线的三条线段首尾顺次相接而成, 是最简单的多边形. 三角形的常用性质有

• 内角和为 $180^\circ$
• 任意两边之和大于第三边 (两边之差小于第三边)

三角形可按角的大小分类,

• 锐角三角形: 三个角均为锐角
• 直角三角形: 有一个角为直角
• 钝角三角形: 有一个角为钝角

锐角三角形和钝角三角形统称为斜三角形. 直角三角形斜边上的中线为斜边的一半. 与直角三角形密切相关的还有勾股定理 (直角边平方和等于斜边平方) 及其逆定理, 后者是判断一个三角形是否为直角三角形的常用依据. 两个特殊直角三角形的三边比应单独记忆:

• 等腰直角三角形三边比为 $1: 1: \sqrt 2$
• 含 $30^\circ$ 角的直角三角形三边比为 $1: \sqrt 3: 2$

三角形也可按边的大小分类,

• 等腰三角形: 有两边相等, 含等边三角形 (三边相等)
• 不等腰三角形: 任意两边不相等

解决与三角形相关的问题时, 常常需要利用三角形全等或相似的判定定理以及性质定理.

平行四边形 #

平行四边形是特殊的四边形: 两组对边分别平行. 常用的性质有

• 一组对边平行且相等
• 对角线互相平分

满足上述性质四边形也是平行四边形. 特殊的平行四边形还有更好的性质:

• 矩形 $\Leftrightarrow$ 对角线相等
• 菱形 $\Leftrightarrow$ 对角线互相垂直
• 正方形 $\Leftrightarrow$ 对角线互相垂直且相等

梯形 #

梯形也是特殊的四边形: 仅有一组对边平行, 这组对边分别称为上底和下底. 特殊的梯形有

• 等腰梯形: 不平行的两条边相等, 这两条边都称为腰
• 直角梯形: 有一个内角为 $90^\circ$ (暗含有两个内角为 $90^\circ$)

与梯形相关的常用辅助线作法是: 作双高, 平移对角线.

圆 #

圆是到定点 (圆心) 的距离为定值 (半径) 的所有点. 圆的常用性质有

• 同弧所对圆周角为圆心角的一半
• 垂径定理: 圆心到弦中点的连线与该弦垂直

与圆相关的问题, 通常要考虑圆与直线、圆与圆之间的位置关系.

后续内容 #

以下回顾对称、全等与相似, 三角形, 四边形, 圆, 平面图形的面积等内容.