平面图形的面积 #

平面图形 $G$ 的面积描述的是其边界所围区域的大小. 将边长为 $1$ 的正方形 $Q$ 称为单位正方形, 所围区域的面积记为 $1$ 个单位. 用单位正方形 $Q$ 来度量 $G$ 所围区域大小, 所得的倍数就是 $G$ 的面积. 以下回顾三角形、四边形、圆、扇形的面积公式的推导方法.

四边形的面积 #

从切割图形的角度来看, 正方形的面积为边长的平方, 即边长为 $a$ 的正方形的面积为 $a^2$. 例如, 边长为 $2$ 的正方形可以切割为 $2^2= 4$ 个单位正方形. 长为 $a$、宽为 $b$ 的矩形可以分解为多个正方形之和, 所以其面积为 $ab$ (长乘宽).

底为 $a$、高为 $h$ 的平行四边形可以用割补法拼接为矩形, 故面积为 $ah$ (底乘高). 底为 $a$, $b$, 高为 $h$ 的梯形也可以拼接为平行四边形 (或矩形), 面积为 $\dfrac12(a+b)h$ (两底之和乘高的一半).

三角形的面积 #

底为 $a$、高为 $h$ 的三角形可以补成平行四边形, 面积为 $\dfrac12 ah$ (底乘高的一半). 三角形也可以视为退化的梯形 (上底为 $0$), 则由梯形的面积公式直接得到三角形的面积公式.

多边形的面积公式, 也可以由三角形的面积公式推出. 例如, 梯形和五边形均可以沿对角线分割成一些小三角形, 分别计算这些小三角形的面积之后再求和. 求更一般的平面图形 $G$ 的面积, 通常也是这种方法, 即将 $G$ 分割成一些三角形或矩形, 分别计算面积后再求和. 有时也可以将 $G$ 补成容易求面积的平行四边形等, 然后减去补上部分的面积. 下图就分别演示了这两种方法 (统称为“割补法”).

圆与扇形的面积 #

圆的面积可以利用三角形的面积公式理解. 具体的做法是: 将圆沿半径分割为多个小扇形 (不一定均匀分割); 当扇形足够小时, 可将其视为三角形, 底为小弧长, 高为半径; 累加求和知, 半径为 $r$ 的圆的面积是 \[ S_{\text{圆}}= \frac12\cdot 2\pi r\cdot r= \pi r^2.\] 由同样的分析可得, 扇形的面积为弧长乘半径的一半, 即半径为 $r$、弧长为 $l$ 的扇形的面积是 $S_{\text{扇}}= \dfrac12 lr$.