圆 #

圆具有轴对称性和中心对称性, 对称轴是任意过圆心的直线, 对称中心是圆心.

圆的定义 #

在平面上取定一点 $C$, 设动点 $P$ 满足 $CP= r$ ($r>0$), 将所有这样的点 $P$ 描绘出来, 就得到半径为 $r$ 的圆 $C$, 点 $C$ 称为圆心. 定义表明, 圆是到定点 (圆心) 的距离等于定长 (半径) 的所有点的全体. 连接圆心 $C$ 和圆上任一点得到圆的半径, 过 $C$ 的直线被圆所截得的线段为圆的直径 (如下图中的线段 $AB$), 长度通常记为 $d$, 即 $d= 2r$.

圆的定义

圆的周长 $C$ 与直径 $d$ 成正比, 比值为圆周率 $\pi$., 所以圆 $C$ 的周长为 $\pi d= 2\pi r$. 利用半径将圆 $C$ 切割为一些小扇形, 就可以将圆近似看成多个“三角形”之和, 从而说明圆的面积为 \[ \dfrac12 \cdot 2\pi r\cdot r= \pi r^2.\]

再取平面上另一点 $Q$, 则点 $Q$ 与圆 $C$ 的位置关系有三种:

$CQ_1< r\Leftrightarrow$ 点 $Q_1$ 在圆 $C$ 内
$CQ_2= r\Leftrightarrow$ 点 $Q_2$ 在圆 $C$ 上
$CQ_3> r\Leftrightarrow$ 点 $Q_3$ 在圆 $C$ 外

点与圆的位置关系

圆的性质 #

同弧所对的圆心角是圆周角的两倍, 也即同弧所对的圆周角是圆心角的一半, 所以同弧所对的圆周角为定值. 下图中, $\angle 1= \angle 2= \dfrac12 \angle 3$. 特别地, 直径所对的圆心角为平角 ($180^\circ$), 故其所对的圆周角为直角 ($90^\circ$).

同弧所对圆周角是圆心角的一半

垂径定理: 设圆 $C$ 上有一弦 $AB$, 若取其中点 $M$ 并连接 $CM$, 则 $CM\perp AB$; 若作 $CM\perp AB$ 于 $M$, 则 $M$ 为 $AB$ 的中点, 即 \[ AM= BM\Leftrightarrow CM\perp AB.\]

垂径定理

垂径定理本质上是等腰三角形的性质.

如下图所示, 线段 $AB$ 为圆 $O$ 的弦, $C$ 为 $AB$ 的中点, $OD$ 为过点 $C$ 的半径. 若 $AB=8$, $CD=2$, 求圆 $O$ 的半径.

连接 $OA$, 由垂径定理可知, $\triangle OCA$ 为直角三角形, 且 $OC\perp CA$. 设所求半径为 $r$, 则 \[\begin{gathered} OA=r,\quad AC= \frac12 AB=4,\\ OC= OD-CD= r-2, \end{gathered}\] 代入 $OA^2= OC^2+CA^2$, 可知 \[ r^2= (r-2)^2+4^2,\quad r=5.\]

如下图所示, 线段 $AB$ 为圆 $O$ 的弦, 半径 $OD=5$ 且垂直于 $AB$. 若 $AD=2\sqrt5$, 求 $CD$ 的长度.

参考答案

提示: 仍连接 $OA$ 并用垂径定理. 在 $\mathrm{Rt}\triangle ACO$ 和 $\mathrm{Rt}\triangle ACD$ 中利用勾股定理列关于 $CD$ 和 $AC$ 的方程, 消去 $AC$ 后可以解得 $CD=2$.

直线与圆、两圆的位置关系 #

直线 $l$ 与圆 $C$ 的位置关系有三种:

相离: 直线 $l_1$ 与圆 $C$ 没有交点
相切: 直线 $l_2$ 与圆 $C$ 恰有一个交点
相交: 直线 $l_3$ 与圆 $C$ 有两个交点

直线与圆的位置关系

设直线 $l$ 与圆 $C$ 相切于点 $P$, 则 $CP\perp l$, 即过切点的半径垂直于切线. 此时, 圆心 $C$ 到切线 $l$ 的距离为 $CP$, 即圆心到切线的距离等于半径. 判断圆的切线的另一个方法是: 若圆心 $C$ 到直线 $l$ 的距离为半径 $r$, 则 $l$ 与圆 $C$ 相切.

如下图所示, 在直角梯形 $ABCD$ 中, $AB\parallel DC$, $\angle A= 90^\circ$, $BC=AB+CD$, 圆 $E$ 以 $BC$ 为直径, 求证: 圆 $E$ 与 $AD$ 相切.

由已知, 点 $E$ 为 $BC$ 的中点. 取 $AD$ 的中点 $F$, 连接 $EF$, 则 $EF$ 为直角梯形 $ABCD$ 的中位线, 所以 \[ EF= \frac12(AB+CD)= \frac12 BC,\quad EF\parallel AB.\] 因为 $\angle A= 90^\circ$, 所以可知 $EF\perp AD$. 由此可知, 圆心 $E$ 到直线 $AD$ 的距离 $EF$ 为半径 $\dfrac12 BC$, 表明圆 $E$ 与 $AD$ 相切.

判断圆与直线相切的两个方法: 圆与直线有唯一的交点; 圆心到直线的距离等于半径, 都应熟知. 两者在高中数学里都会用到.

如上例的图所示, 在直角梯形 $ABCD$ 中, $AB\parallel DC$, $\angle A= 90^\circ$, 圆 $E$ 以 $BC$ 为直径且与 $AD$ 相切, 求证: $BC=AB+CD$.

参考答案

提示: 设圆 $E$ 与 $AD$ 相切于点 $F$, 连接 $EF$, 则 \[ EF\perp AD\Rightarrow EF\parallel AB.\] 利用平行线分线段成比例和梯形中位线的性质, 可推出 $EF= \dfrac12 (AB+DC)$, 再由 $BC$ 为圆 $E$ 的直径可得结论.

圆 $C_1$ 与圆 $C_2$ 的位置关系有五种 (自行补图):

外离: 两圆没有交点, 且每个圆的圆心均在另一个圆的外部
外切: 两圆恰有一个交点, 且每个圆的圆心均在另一个圆的外部
相交: 两圆有两个交点
内切: 两圆恰有一个交点, 且一个圆的圆心在另一个圆的内部
内含: 两圆没有交点, 且一个圆的圆心在另一个圆的内部