四边形 #

四边形内角和为 $360^\circ$, 与外角和相等. 由两点之间线段最短可知, 四边形的三边之和大于第四边. 下面回顾平行四边形 (也包括矩形、菱形和正方形) 和梯形的性质.

平行四边形 #

平行四边形 $ABCD$ 是指其两组对边分别平行. 由平行线的性质可知, 平行四边形 $ABCD$ 的对角相等. 连接对角线 $AC$ 和 $BD$, 并设两者交于点 $O$, 利用全等可证

• $AB= CD$, $AD= BC$, 即两组对边分别相等
• $AO=OC$, $BO=OD$, 即对角线互相平分

平行四边形是中心对称图形, 其对称中心为对角线的交点. 判定平行四边形的常用方法为

• 两组对边分别平行 (定义)
• 一组对边平行且相对
• 两组对边分别相等
• 对角线互相平分

对任意四边形 $ABCD$, 顺次连接四边中点 $E$, $F$, $G$, $H$, 求证: 四边形 $EFGH$ 为平行四边形.

连接 $AC$, 考虑 $\triangle ABC$ 和 $\triangle ADC$ 的中位线知, \[ EF=\frac12 AC= HG,\quad EF\parallel AC\parallel HG,\] 所以四边形 $EFGH$ 为平行四边形.

(1) 遇到中点一般可考虑构造中位线, 此题也可通过连接 $BD$ 来证明.

(2) 上图中连接 $EG$ 和 $FH$ 后可知, 两者为平行四边形 $EFGH$ 的角平分线, 所以互相平分. 这个结论可以推广, 例如, 分别取四边形 $ABCD$ 四边上的三等分点, 连接对边对应的分点后, 所得线段也被三等分 (仍可以用纯几何法证明), 如下图所示, $E$, $F$, $G$, $H$ 均为对应线段的三等分点. 这里的“三等分点”也可以改成“$n$ 等分点”, 相应的结论是“所得线段被 $n$ 等分” (用高中讲到的向量法或坐标法证明更方便).

矩形、菱形和正方形 #

矩形 $ABCD$ 是有一个内角为 $90^\circ$ 的平行四边形, 也称其为长方形. 由平行线的性质可知, 矩形 $ABCD$ 的四个内角均为 $90^\circ$. 又由勾股定理可知, 对角线 $AC=BD$. 矩形是特殊的平行四边形, 故也为中心对称图形. 矩形还是轴对称图形, 对称轴为两组对边中点连线所在的直线.

要证明一个四边形为矩形, 一般先证明其为平行四边形, 然后证明如下两个结论之一:

• 一个内角为 $90^\circ$ (定义)
• 对角线相等

菱形 $ABCD$ 是有两条邻边相等的平行四边形, 因此其四边相等. 再由等腰三角形的性质可知, 对角线 $AC$ 和 $BD$ 互相垂直平分. 菱形也是中心对称图形和轴对称图形, 对称轴为两条对角线所在的直线.

要证明一个四边形为菱形, 一般先证明其为平行四边形, 然后证明如下两个结论之一:

• 有两条邻边相等 (定义)
• 对角线互相垂直

正方形 $ABCD$ 是有一个内角为 $90^\circ$ 且两条邻边相等 (因而既是矩形, 又是菱形) 的平行四边形. 由前述结论可知, 正方形 $ABCD$ 的两条对角线相等且互相垂直.

如下图所示, 以 $\triangle ABC$ 的两边 $AB$, $AC$ 为边长, 向外作分别作正方形 $ABDE$ 和正方形 $ACFG$. 再过点 $A$ 作直线, 交 $BC$ 于点 $H$, 交 $EG$ 于点 $I$.

(1) 若 $H$ 为 $BC$ 的中点, 求证: $AI\perp EG$;

(2) 若 $AI\perp EG$, 求证: $H$ 为 $BC$ 的中点.

(1) 倍长 $AH$ 至点 $J$, 连接 $BJ$, $CJ$. 因为 $BC$ 与 $AJ$ 互相平分, 所以四边形 $ABJC$ 为平行四边形. 结合已知的正方形可知, \[\begin{gathered} AB= AE,\quad BJ= AC= AG,\\ \angle ABJ+\angle BAC= \angle EAG+\angle BAC= 180^\circ, \end{gathered}\] 则 $\angle ABJ= \angle EAG$, 从而 $\triangle ABJ\cong \triangle EAG$. 因此 $\angle 1= \angle 2$, \[ \angle 2+ \angle 3= \angle 1+ \angle 3= 90^\circ,\] 表明 $AI\perp EG$.

(2) 过点 $B$ 作 $BK\perp AH$ 于 $K$, 过点 $C$ 作 $CL\perp AH$ 于 $L$. 由已知的正方形和 $AI\perp EG$ 可证 \[ \triangle AEI\cong \triangle ABK,\quad \triangle AGI\cong \triangle ACL,\] 所以 $BK=AI=CL$, 从而可证 \[ \triangle BHK\cong \triangle CHL\Rightarrow BH=HC,\] 即 $H$ 为 $BC$ 的中点.

如下图所示, 以 $\triangle ABC$ 的两边 $AB$, $AC$ 为边长, 向外作分别作正方形 $ABDE$ 和正方形 $ACFG$. 点 $H$ 为 $BC$ 中点, 点 $I$ 为 $DF$ 中点. 求证: \[ HI\perp BC,\quad HI= \frac12 BC.\]

梯形 #

梯形 $ABCD$ 是只有一组对边平行的四边形, 以下设 $AB\parallel DC$, 但 $AD$ 不与 $BC$ 平行. 此时 $AB\neq DC$ (否则 $ABCD$ 为平行四边形), 不妨设 $DC< AB$, 则称 $DC$ 为上底, $AB$ 为下底, 两者之间的距离称为梯形的高. 不平行的两边 $AD$ 与 $BC$ 均称为腰, 两腰中点的连线段 $EF$ 称为梯形 $ABCD$ 的中位线. 由三角形的全等或中位线性质可证明, \[ AD\parallel EF\parallel BC,\quad EF= \frac{AD+BC}2.\]

通过平移一腰, 可将梯形 $ABCD$ 分为三角形和平行四边形 (见下面的例题).

直角梯形 $ABCD$ 是含一个直角的梯形, 不妨设 $\angle A= 90^\circ$, 则 $\angle D= 90^\circ$. 过上底 $DC$ 的端点作高, 可将直角梯形分为矩形和直角三角形.

等腰梯形 $ABCD$ 是不平行的两边相等的梯形, 即 $AD= BC$. 等腰梯形为轴对称图形, 对称轴为两底的中垂线 (两者重合). 过上底 $DC$ 的两个端点作双高, 可将等腰梯形分为矩形和两个全等的直角三角形.

如下图所示, 在梯形 $ABCD$ 中, $AB= 6$, $BC=5$, $CD=3$, $DA=4$, 求梯形 $ABCD$ 的面积.

作 $CE\parallel DA$ 交 $AB$ 于点 $E$ (即平移一腰), 则四边形 $AECD$ 为平行四边形, 所以 \[ AE=DC=3,\quad CE=DA=4.\] 在 $\triangle BCE$ 中, $BE=AB-AE=3$, 所以 \[ CE^2+EB^2= CB^2\Rightarrow \angle CE\perp EB,\] 因此 $CE$ 为梯形 $ABCD$ 的高, 所求面积为 \[ \frac12 (DC+AB) CE= \frac12 (3+6)\cdot 4= 18.\]

如下图所示, 在直角梯形 $ABCD$ 中, $AB= 6$, $BC=5$, $CD=3$, $\angle A= 90^\circ$, 求直角梯形 $ABCD$ 的面积.