对称、全等与相似 #

对称、全等与相似考虑的都是图形之间的位置与形状. 初高中数学主要考虑轴对称与中心对称, 以及三角形的全等与相似. 轴对称与中心对称既可以用来描述一个图形自身的对称性, 又可以用来描述两个图形的对称性. 两个三角形全等是指它们的形状和大小一样, 相似则仅指它们的形状一样.

轴对称 #

点 $A$ 和 $A’$ 关于直线 $l$ 成轴对称, 是指 $l$ 为线段 $AA’$ 的中垂线, 即 $AA’\perp l$ 且 $AA’$ 的中点在 $l$ 上, 如下图所示. 直线 $l$ 称为对称轴, 点 $A’$ 称为 $A$ 关于 $l$ 的轴对称点 (简称为对称点). 若 $A$ 在 $l$ 上, 则 $A$ 关于 $l$ 的对称点仍为 $A$.

图形 $G$ 和 $G’$ 关于直线 $l$ 成轴对称, 是指这两个图形的对应点关于 $l$ 对称, 即 $l$ 为对应点连线段的中垂线. 直线 $l$ 称为对称轴, 图形 $G’$ 称为 $G$ 关于 $l$ 的轴对称图形 (简称为对称图形). 下图中, $\triangle ABC$ 与 $\triangle A’B’C’$ 关于直线 $l$ 对称.

图形 $G$ 为轴对称图形, 是指存在直线 $l$, 使得 $G$ 上任意一点关于 $l$ 的对称点仍在 $G$ 上, 并称 $l$ 为 $G$ 的对称轴. 例如,

• 任意线段为轴对称图形, 对称轴为自身所在的直线及其中垂线 (注意, 有两条)
• 任意角也为轴对称图形, 对称轴为其角平分线
• 如下图所示, 任意等腰 $\triangle ABC$ ($AC=BC$) 均为轴对称图形, 对称轴为底边上的中线 $CD$ 所在的直线 $l$

常见的轴对称图形还有矩形、菱形、正方形、圆等.

中心对称 #

点 $A$ 和 $A’$ 关于点 $O$ 成中心对称, 是指 $O$ 为线段 $AA’$ 的中点, 如下图所示. 点 $O$ 称为对称中心, 点 $A’$ 称为 $A$ 关于 $l$ 的中心对称点 (仍简称为对称点). 若 $A$ 与 $O$ 重合, 则 $A$ 关于 $O$ 的对称点仍为 $A$.

图形 $G$ 和 $G’$ 关于点 $O$ 成中心对称, 是指这两个图形的对应点关于 $O$ 对称, 即 $O$ 为对应点连线段的中点. 点 $O$ 称为对称中心, 图形 $G’$ 称为 $G$ 关于 $O$ 的中心对称图形 (仍简称为对称图形). 下图中, $\triangle ABC$ 与 $\triangle A’B’C’$ 关于点 $O$ 对称.

图形 $G$ 为中心对称图形, 是指存在点 $O$, 使得 $G$ 上任意一点关于 $O$ 的对称点仍在 $G$ 上, 并称 $O$ 为 $G$ 的对称中心. 例如,

• 任意线段为中心对称图形, 对称中心为其中点
• 任意圆也为中心对称图形, 对称中心为圆心
• 如下图所示, 任意平行四边形 $ABCD$ 均为中心对称图形, 对称中心为对角线的交点 $O$

两个三角形的全等 #

两个三角形全等是指它们的形状和大小完全一致, 即全等的三角形对应的边和角分别相等. $\triangle ABC$ 与 $\triangle A’ B’ C’$ 全等记成 (对应顶点顺序一致) \[ \triangle ABC\cong\triangle A’ B’ C’.\] 如上图中, $\triangle AOB\cong\triangle COD$. 显然, 成轴对称或中心对称的两个三角形必定全等.

判断两个三角形全等, 实质上是考虑需要什么条件才能唯一确定一个三角形的大小和形状. 因为三角形的内角和为 $180^\circ$, 所以“两个角为已知”等价于“三个角全为已知”. 进一步作图分析可知, 通常只需要 $3$ 个条件即可唯一确定一个三角形. 用 A 表示“角” (angle), 用 S 表示“边” (side), 则三角形全等的判定定理可按边的数目分类如下:

• 边边边 (SSS), 即三边对应相等
• 边角边 (SAS), 即两边和夹角对应相等
• 角边角 (ASA), 即两角和夹边对应相等
• 角角边 (AAS), 即两角和邻边对应相等

最后两个判定定理等价 (都相当于已知三角和一边).

(1) 没有“边边角 (SSA)”判定定理, 即两边分别相等时, 相等的角一定要找夹角. 如下图所示, $\triangle ABC$ 与 $\triangle ABD$ 符合“边边角”的条件 ($AB=AB$, $AC=AD$, $\angle B= \angle B$), 但它们明显不全等.

(2) 对于直角三角形, 利用“斜边与一直角边分别相等”也可判定全等. 由勾股定理可知, 此时等价于使用“边边边” (而非表面上的“边边角”).

在 $\triangle ABC$ 中, $AD$ 为 $BC$ 边上的中线, 求证: $AB+AC> 2AD$.

倍长中线 $AD$ 至点 $E$, 连接 $CE$, 则可知 \[ \triangle ADB\cong \triangle EDC(\text{SAS}),\] 所以 $CE=AB$. 在 $\triangle ACE$ 中, \[ AC+CE> AE,\quad\text{即}\quad AB+AC> 2AD.\]

两个三角形的相似 #

两个三角形相似是指它们的形状完全一致, 即相似的三角形对应角相等、对应边成比例. $\triangle ABC$ 与 $\triangle A’ B’ C’$ 相似记成 (对应顶点顺序一致) \[ \triangle ABC\sim\triangle A’ B’ C’.\] 全等可以看成相似的特例. 三角形相似的判定定理可以类比全等的判定定理得到, 只需将“对应边相等”改为“对应边成比例”.

• 边边边 (SSS), 即三边对应成比例
• 边角边 (SAS), 即两边对应成比例且夹角对应相等
• 角角 (AA), 即两角对应相等

判断三角形相似时, 常找“A 字形”相似和“8 字形”相似. 如下图所示, $BC\parallel DE$, 则 $\triangle ABC\sim \triangle ADE$.

结合三角形相似可以很容易理解三角形中位线定理: 三角形的中位线平行且等于对应边的一半. 如下图所示, 在 $\triangle ABC$ 中, $D$ 和 $E$ 分别为 $AB$ 和 $AC$ 的中点, 则 \[ DE\parallel BC,\quad DE= \frac12 BC.\]

如下图所示, 在 $\triangle ABC$ 中, $CD$ 为 $AB$ 边上的中线, 点 $E$ 为 $CD$ 的中点, 连接 $AE$ 并延长, 交 $BC$ 于点 $F$. 求证: $BF= 2CF$.

取 $AF$ 的中点 $G$, 连接 $DG$, 则 $DG$ 为 $\triangle ABF$ 的中位线, 因此 \[ BF= 2DG,\quad BF\parallel DG.\] 此时 $FC\parallel DG$, 则 (由 8 字形相似) \[ \triangle CEF\sim \triangle DEG.\] 因为点 $E$ 为 $CD$ 的中点, 所以 $CE=ED$, 则 $CF= DG$, 即有 $BF= 2CF$.