三角形 #

三角形的边和角都有相应的约束条件. 特殊的三角形 (如等腰三角形、直角三角形) 有更多的性质. 与三角形有关的特殊线有: 中线、中垂线、角平分线和高线, 常见的三角形的特殊点有: 重心、外心、内心和垂心.

以下均设在 $\triangle ABC$ 中, $\angle A$, $\angle B$, $\angle C$ 所对的边分别为 $a$, $b$, $c$.

两个约束条件 #

利用平行线的性质可以证明, $\triangle ABC$ 的内角和为 $180^\circ$, 即 \[\angle A+ \angle B+\angle C= 180^\circ.\] 这是关于角的约束条件. 有时也省略角的符号“$\angle$”而将上述结论写成 $A+B+C=180^\circ$. 推广可知, 如下图所示, $n$ 边形的内角和为 $(n-2)\cdot 180^\circ$, 由此可以计算正 $n$ 边形的各内角大小. $n$ 边形的外角和为 $360^\circ$ (与 $n$ 无关). 注意, 同一顶点处的两个外角相等, 求和时只取其中一个. 此外, 三角形内角和为 $180^\circ$ 的一个推论是: 三角形的外角等于不相邻的两个内角之和, 因此大于不相邻的任一内角.

利用“两点之间线段最短”可以说明, 三角形的任意两边之和大于第三边, 即 (只列其一) \[a+b>c,\quad\text{或}\quad a>b-c,\] 因此任意两边之差小于第三边. 这是关于边的约束条件. 也可以将这两个结论整合起来, 得到 \[|b-c|< a< b+c.\] 上述三个不等式都可称为“三角形不等式”.

已知点 $D$ 为 $\triangle ABC$ 内一点, 求证: $AC+CB> AD+DB$.

连接 $AD$ 并延长, 交 $CB$ 于点 $E$, 则在 $\triangle ACE$ 中, \[ AC+CE> AE= AD+DE;\] 在 $\triangle DEB$ 中, $DE+EB> DB$. 这两个同向不等式相加, 两边消去 $DE$, 得 \[ AC+CE+EB> AD+DB,\] 此即 $AC+CB> AD+DB$.

等腰三角形与等边三角形 #

若 $\triangle ABC$ 中, $AC= BC$, 则称 $\triangle ABC$ 为等腰三角形, 相等的两边 $AC$ 和 $BC$ 均称为“腰”, $AB$ 称为“底”, 两腰所对的 $\angle A$ 和 $\angle B$ 称为底角, 底所对的 $\angle C$ 称为顶角. 从定义可以知道, 此时 $\triangle ABC$ 的两个底角相等, 即 $\angle A= \angle B$, 且为轴对称图形, 对称轴为底 $AB$ 上的高 $CD$ (也是中线、中垂线) 所在直线.

利用等腰三角形和三角形内、外角数量关系, 可以证明三角形中的边、角是大小对应的: 设 $\triangle ABC$ 中 $\angle A$, $\angle B$ 对边的长度分别为 $a$, $b$, 则 \[ a>b\Leftrightarrow \angle A>\angle B.\] 上述结论简称为“三角形中, 大边对大角, 大角对大边”. 简要证明如下: 设 $a>b$, 在 $CB$ 上取 $CD=CA=b$, 连接 $AD$, 则 \[ \angle CAB> \angle CAD> angle CDA> \angle B.\] 反之, 若 $\angle A>\angle B$, 则由于 $a$, $b$ 的大小关系只能为 $a>b$, $a=b$, $a< b$ 之一, 而“大边对大角”“等边对等角”表明后两者不成立, 故只能 $a>b$.

若 $\triangle ABC$ 中, $AB= AC= BC$, 则称 $\triangle ABC$ 为等边三角形. 等边三角形是特殊的等腰三角形, 三个角均为 $60^\circ$. 若等边三角形的边长为 $a$, 则利用勾股定理, 高为 $\dfrac{\sqrt3}2 a$, 故面积为 $\dfrac{\sqrt3}4 a^2$.

直角三角形 #

利用切割正方形和面积法可以证明勾股定理: 直角三角形直角边的平方和等于斜边的平方. 具体地, 设 $\mathrm{Rt}\triangle ABC$ 中, $\angle C=90^\circ$, 以 $a+b$ 为边长作正方形 $DEFG$, 并作如图所示的辅助线, 可以证明中间的四边形也是正方形. 用两种方法表示正方形 $DEFG$ 的面积, 即整体计算和分步计算, 可知 \[ (a+b)^2= c^2+ 4\cdot \frac12ab,\] 整理得 $a^2+b^2=c^2$. $3$, $4$, $5$ 和 $5$, $12$, $13$ 是两组常见的勾股数, 应熟记.

勾股定理的逆定理也成立, 即若 $a^2+b^2= c^2$, 则 $\angle C=90^\circ$, 即 $\triangle ABC$ 为直角三角形.

倍长 $CM$ 至点 $D$, 再连接 $DA$, $DB$, 则可知四边形 $ACBD$ 为矩形. 因为矩形的对角线长度相等, 所以 $CM=\dfrac12 CD= \dfrac12 AB$.

三种特殊的三角形 #

含 $45^\circ$ 角的直角三角形, 三个内角为 $45^\circ$, $45^\circ$, $90^\circ$. 该三角形也是等腰三角形, 故称为等腰直角三角形. 由勾股定理, 其三边比为 $1:1:\sqrt2$.

含 $30^\circ$ 角的直角三角形, 三个内角为 $30^\circ$, $60^\circ$, $90^\circ$. 将其关于长直角边作对称图形, 可形成等边三角形. 因此可知该三角形的三边比为 $1:\sqrt3:2$.

底角为 $30^\circ$ 的等腰三角形, 三个内角为 $30^\circ$, $30^\circ$, $120^\circ$. 该三角形可由含 $30^\circ$ 角的直角三角形关于短直角边作对称图形得到, 所以三边比为 $2:2:2\sqrt3$, 也即 $1:1:\sqrt3$.

三角形的特殊线和特殊点 #

三角形的特殊线 (均为三条) 有

• 中线: 各边中点与所对顶点的连线段
• 各边中垂线
• 各内角平分线
• 高线: 所对顶点到各边的垂线段

作图可以验证:

(1) 三边中线交于一点, 该点称为重心, 一般记为点 $G$ (gravity);

(2) 三边中垂线交于一点, 该点称为外心 (外接圆圆心), 一般记为点 $O$ (outer);

(3) 三条内角平分线交于一点, 该点称为内心 (内切圆圆心), 一般记为点 $I$ (inner);

(4) 三条高线交于一点, 该点称为垂心, 一般记为点 $H$ (height).

上述结论中, (2) 和 (3) 可以分别由 中垂线 和 角平分线 的性质得到. 以证明 (2) 为例, 设 $\triangle ABC$ 的 $AB$, $BC$ 边上的中垂线交于点 $O$, 连接 $OA$, $OB$ 和 $OC$. 由中垂线的定义, \[ OA=OB,\quad OB=OC,\quad \text{即}\quad OA=OC,\] 所以点 $O$ 也在 $AC$ 边的中垂线上, 表明三边中垂线交于一点. 证明 (1) 的一种方法为: 设中线 $AD$, $BE$ 相交于点 $G$, 连接 $DE$ 可知, $DE$ 为中位线, 且 \[ AB= 2DE,\quad \triangle DGE\sim \triangle AGB,\] 所以 $AG=2DG$, 即 $AD= 3DG$. 再设中线 $AD$, $CF$ 相交于点 $G’$, 同理可知 $AD= 3DG’$, 因此 $G$ 与 $G’$ 重合, 即三边中线交于一点. 用纯几何法证明 (4) 略烦琐 (较简洁的证法为高中数学的向量法).