集合的定义 #

集合 (set) 是一类有共性的对象的全体, 一般用大写字母表示, 所考察的对象称为集合的元素 (element). 集合的基本表示方法是把所有考察的对象放在大括号 (花括号) 内, 比如, 设集合 $A$ 表示所有不大于 $3$ 的正整数, 则 $A=\{1,2,3\}$, 也可以写成 $A=\{\text{不大于 $3$ 的正整数}\}$. 集合 $A$ 中的元素为 $1$, $2$, $3$. 将不含任何元素的集合称为空集, 记成 $\{\}$ 或 $\varnothing$.

若元素 $x$ 在集合 $A$ 中, 则称 $x$ 属于 $A$, 记成 $x\in A$; 反之, 则称 $x$ 不属于 $A$, 记成 $x\notin A$. 例如, \[ 1\in\{1,2,3\},\quad 4\notin \{1,2,3\}.\]

列举法与描述法 #

将 $A$ 写成 $\{1,2,3\}$ 时用的是列举法, 即逐一列出集合中的元素. 当集合中的元素个数不多时, 用列举法能够显示所有元素. 若集合中的元素较多, 但有明显的规律, 也可以用列举法. 例如, 小于 $10$ 的正整数全体可以写成 $\{1,2,\cdots,9\}$, 全体整数构成的集合可以写成 $\{0,1,-1,2,-2,\cdots\}$.

集合 $\{0,1,-1,2,-2,\cdots\}$ 不宜写成 $\{0,\pm1,\pm2,\cdots\}$, 即表示集合时不宜用缩写.

将 $A$ 写成 $\{\text{不大于 $3$ 的正整数}\}$ 时用的是描述法, 这时 $A$ 也可以改写成 \[ \{x\mid x\leqslant 3,\ \text{$x$ 为正整数}\}.\] 后一种是更常用的形式. 描述法的一般形式为 $\{x\mid p(x)\}$, 其中 $x$ 代表被描述的对象 (可以换成其他字母或式子), $p(x)$ 是关于 $x$ 的约束条件. 例如, 所有大于 $1$ 的数构成的集合可以写成 $\{x\mid x>1\}$. 用描述法表示集合, 通常是为了突出集合中的元素的共同特征.

(1) 用描述法表示集合时, 所用的字母不影响集合的涵义, 例如, 集合 $\{a\mid a>1\}$ 与 $\{b\mid b>1\}$ 是同一个集合, 因为它们都表示大于 $1$ 的数的全体.

(2) 有了集合的定义, 方程和不等式的解集均应写成集合形式. 例如, 方程 $x^2=1$ 的解集为 $\{-1,1\}$, 不等式 $x^2\leqslant 1$ 的解集为 $\{x\mid -1\leqslant x\leqslant 1\}$.

上面提到的集合中的元素都是数字, 这些集合均称为数集. 集合的元素也可以是点、直线、图形、函数等, 对应的集合分别称为点集、直线集、图形集、函数集等. 例如, 直线由点组成, 故为点集, 设一次函数 $y=2x+1$ 的图象为直线 $l$, 则 \[ l= \{(x,y)\mid y=2x+1\};\] 所有与 $l$ 垂直的直线构成的集合可以写成 \[ \{l'\mid l'\perp l\};\] 所有过点 $(1,1)$ 的二次函数构成的集合可以写成 \[ \{y=ax^2+bx+c\mid a\neq0,\ a+b+c=1\}.\]

(1) 集合的元素甚至可以是集合. 例如, 由直线是点集可知, 上述 $\{l'\mid l'\perp l\}$ 就是点集构成的集合.

(2) 从前面的例子可以看出, 用描述法的关键是准确地将集合中元素的特征用表达式描述, 要做到这一点, 需要对涉及的定义、性质等十分熟悉. 例如, 前述所有过点 $(1,1)$ 的二次函数构成的集合不能写成 \[ \{y=ax^2+bx+c\mid a+b+c=1\},\] 原因是二次函数的二次项系数不能为零, 所以还需补上 $a\neq 0$.

已知集合 $A=\{0,1,2\}$, 求下列集合中元素的个数:

(1) $B=\{x-y\mid x,y\in A\}$;

(2) $C=\{x+y\mid x,y\in A\}$.

(1) $B=\{-2,-1,0,1,2\}$, 共 $5$ 个元素.

(2) $C=\{0,1,2,3,4\}$, 共 $5$ 个元素.

将上例推广: 设集合 $A=\{0,1,2,\cdots,n\}$, 其中 $n$ 为正整数, \[ B=\{x-y\mid x,y\in A\},\quad C=\{x+y\mid x,y\in A\},\] 则 \[\begin{gathered} B=\{-n,-n+1,\cdots,0,\cdots,n-1,n\},\\ C=\{0,1,2,\cdots,2n\} \end{gathered}\] 均有 $2n+1$ 个元素. 由于集合 $B$, $C$ 中的元素可以从小到大排列, 且相邻两数差值为 $1$, 所以在列出这些元素时, 只须考虑最大值和最小值.

(1) 设集合 $A=\{(x,y)\mid x,y=0,1,2\}$, \[ B=\{(x_1+x_2,y_1+y_2)\mid (x_1,y_1), (x_2,y_2)\in A\},\] 求 $B$ 中的元素个数;

(2) 设集合 $P=\{1,2,3\}$, $Q=\{4,5\}$, \[ M=\{x\mid x=a+b,a\in P,b\in Q\},\] 求 $M$ 中的元素个数.

参考答案

(1) 注意, $A$, $B$ 均为点集. $B=\{(x,y)\mid x,y=0,1,2,3,4\}$, 共 $25$ 个元素.

(2) $M=\{5,6,7,8\}$, 共 $4$ 个元素.

常见的数集与点集 #

自然数集 (非负整数集)、整数集、有理数集、实数集是数学中常见的数集, 为了简化记号, 一般用

$\mathbf{N}$ (或 $\mathbb{N}$) 表示自然数集 (源自 Natural, 自然的);
$\mathbf{Z}$ (或 $\mathbb{Z}$) 表示整数集 (源自德语 Zahl, 数字) ;
$\mathbf{Q}$ (或 $\mathbb{Q}$) 表示有理数集 (源自 Quotient, 商);
$\mathbf{R}$ (或 $\mathbb{R}$) 表示实数集 (源自 Real, 实的).

建议结合自然数、整数、有理数、实数的定义牢记以上简化记号. 借用上述记号, 可以很方便地表示相关集合. 例如, 正整数集可以表示为 $\mathbf{N}^*$, $\mathbf{N}_+$ 或 $\mathbf{Z}_+$ 之一, 负有理数集可以表示为 $\mathbf{Q}_-$.

再比如, 偶数是能被 $2$ 整除的整数, 也即 $2$ 的倍数, 因此偶数集可以写成 \[ \{2k\mid k\ \text{为整数}\}.\] 类似地, 奇数集可以写成 \[ \{2k+1\mid k\ \text{为整数}\}.\]

常见的点集有函数图象、中垂线、角平分线、圆等. 例如, 设二次函数 $y=x^2+2x$ 的图象为抛物线 $G$, 则 \[ G= \{(x,y)\mid y=x^2+2x\};\] 设线段 $AB$ 的中垂线为 $l$, 则点 $P$ 在 $l$ 上等价于 $PA=PB$, 即线段的中垂线是到线段两端距离相等的点的集合, 此时 \[ l= \{P\mid PA=PB\};\] 圆是到定点的距离等于定长的点的集合, 则半径为 $r$ 的圆 $C$ (作为点集) 可以写成 \[ \{P\mid PC=r\}.\]

分别绘出下列集合对应的图形:

(1) $A=\{(x,y)\mid x,y=0,1\}$;

(2) $B=\{(x,y)\mid |x|+|y|\leqslant 3, x,y\in\mathbf{Z}\}$.

(1) 由题意, $A=\{(0,0), (1,0), (0,1), (1,1)\}$ (图略).

(2) $x$, $y$ 的正负号不影响 $|x|+|y|\leqslant 3$ 是否成立, 所以可以只考虑第一象限内及坐标轴上的图形 (对应 $x$, $y\geqslant 0$), 然后对各点的横坐标、纵坐标分别添上负号, 即作关于 $y$ 轴、$x$ 轴的对称点, 就可以得到点集 $B$ 的完整图形.

限定 $x$, $y\geqslant 0$, 则 \[\begin{aligned} &x=0,\quad y=0,1,2,3;\\ &x=1,\quad y=0,1,2;\\ &x=2,\quad y=0,1;\\ &x=3,\quad y=0. \end{aligned}\] 作出各点后, 再作关于 $y$ 轴、$x$ 轴的对称点, 得到下图.

(1) 图形对应的条件中含绝对值时, 常利用对称性作图.

(2)利用上例的信息, 若集合 \[ M=\{(x_1+x_2,y_1+y_2)\mid (x_1,y_1)\in A, (x_2,y_2)\in B\},\] 则作图可知, $M$ 共有 $40$ 个元素 (本质上是将集合 $B$ 中的点按照 $A$ 中的点指定的方向平移).

集合中元素的性质 #

为了确保准确地描述集合, 集合的元素应有如下性质:

(1) 确定性, 例如, 不能写 $\{\text{比较高的人}\}$;

(2) 互异性, 例如, 不能写 $\{1,1\}$;

(3) 无序性, 例如, $\{1,2\}$ 和 $\{2,1\}$ 是同一个集合.

数学中用列举法或含约束条件的描述法表示的集合, 其元素一般都满足确定性, 通常需要关注是否还满足互异性和无序性.

设集合 $A=\{1, \sqrt{a}\}$, $a\in A$, 求实数 $a$ 的值.

集合 $A$ 中的元素应满足互异性, 由此分类讨论:

(1) 若 $a=1$, 则 $\sqrt{a}=1$, 不合题意;

(2) 若 $a=\sqrt{a}$, 则 $a=0$ 或 $1$, 检验知 $a=0$.

综上所述, $a=0$.

集合的子集 #

若集合 $A$ 中的元素都在集合 $B$ 中, 则称 $A$ 含于 $B$, 记成 $A\subseteq B$; 或称 $B$ 包含 $A$, 记成 $B\supseteq A$ (符号的开口均向着范围较大的集合). 这时, 称 $A$ 为 $B$ 的子集. 规定空集为任何集合的子集. 例如, \[ \{1\}\subset \{1,2,3\},\quad \varnothing\subset \{x\mid x^2-3x+2=0\}.\]

由此可知, 任何集合都是自身的子集. 两个集合 $A$ 与 $B$ 相等, 记成 $A=B$, 表示它们含有相同的元素, 因此 $A\subseteq B$ 且 $A\supseteq B$, 反之亦然. 这是证明两个集合相等的常用方法, 即证明它们互为子集.

若 $A\subseteq B$, 且 $B$ 中至少含一个不在 $A$ 中的元素, 则称 $A$ 真含于 $B$, 记成 $A\subsetneqq B$; 或称 $B$ 真包含 $A$, 记成 $B\supsetneqq A$. 这时, 称 $A$ 为 $B$ 的真子集. 因此空集 $\varnothing$ 为任意非空子集的真子集.

(1) 子集与真子集的关系, 和 $\leqslant$ 与 $<$ 的关系有些类似.

(2) 集合之间不一定存在包含关系, 例如, 集合 $A= \{1,2\}$ 与 $B= \{2,3\}$ 就是互不包含.

(3) 元素与集合是属于、不属于的关系, 集合与集合是包含、不包含的关系, 两者的记号不能混淆. 例如, 表达式 $\varnothing\in \{1,2\}$ 是错误的, 应改成 $\varnothing\subseteq \{1,2\}$; 表达式 $1\subseteq \{1,2\}$ 也不正确, 应改成 $\{1\}\subseteq \{1,2\}$.

(1) 设集合 $P=\{x\mid x>1\}$, $Q=\{x\mid x-2>0\}$, 求 $P$ 与 $Q$ 的包含关系.

(2) 设集合 \[\begin{gathered} M=\{x\mid 2\leqslant x\leqslant 6\},\\ N=\{x\mid 2a\leqslant x\leqslant a+3\}, \end{gathered}\] 且 $N\subseteq M$, 求实数 $a$ 的取值范围;

(3) 设集合 $A=\{x\mid x^2=1\}$, $B=\{x\mid ax=1\}$, 若 $B\subseteq A$, 求实数 $a$ 的值.

(1) $Q=\{x\mid x>2\}$, 则 $P\supseteq Q$.

(2) 若 $N=\varnothing$, 则 $2a>a+3$, 即 $a>3$; 若 $N\neq\varnothing$, 则 \[ 2\leqslant 2a\leqslant a+3\leqslant 6,\] 解得 $1\leqslant a\leqslant 3$.

综上所述, $a\geqslant 1$.

(3) 集合 $A$ 描述的是方程 $x^2=1$ 的根, 即 $A=\{-1,1\}$; 集合 $B$ 描述的是方程 $ax=1$ 的根.

若 $B=\varnothing$, 即方程 $ax=1$ 无根, 此时 $a=0$. 若 $B\neq\varnothing$, 即方程 $ax=1$ 有根, 由该方程为一次方程知 $B= \{-1\}$ 或 $\{1\}$, 相应的 $a=-1$ 或 $1$.

综上所述, $a=-1$, $0$ 或 $1$.

(1) 集合的包含关系隐含“小的集合可能是空集”, 所以讨论集合的子集时, 必须先考虑该子集是否为空集, 否则容易漏解.

(2) 关于 $x$ 的一次方程 $ax=b$ 无解的等价条件是 $a=0$ 且 $b\neq 0$; 有解的等价条件是 $a\neq 0$ (为什么?).

(1) 已知集合 $A=\{x\mid -2< x< 1\}$, $B=\{x\mid x-a< 0\}$. 若 $A\subseteq B$, 求实数 $a$ 的取值范围.

(2) 设集合 $A=\{1,4,2x\}$, $B=\{1,x^2\}$, 若 $B\subseteq A$, 求实数 $x$ 的值.

参考答案

(1) $B=\{x\mid x< a\}$, 则 $a\geqslant 1$ ;

(2) 考虑集合元素的互异性. 若 $x^2=4$, 则 $x=\pm2$, 检验知 $x=-2$; 若 $x^2=2x$, 则 $x=0$ 或 $2$, 检验知 $x=0$. 所以, $x=-2$ 或 $0$.

通常用维恩 (Venn) 图表示集合之间的包含关系. 如下图所示, 用圆形与矩形围住的区域分别表示集合 $A$ 与 $B$, 则 $A\subseteq B$. 在维恩图中, 集合也可以用其他图形 (如圆环、三角形) 围住的区域来表示.

维恩图

求集合 $A=\{1,2,3\}$ 的子集个数和真子集个数.

方法一: 分别按所含元素的个数列出 $A$ 的子集, 可知

(1) 含 $0$ 个元素的子集为 $\varnothing$, 仅 $1$ 个;

(2) 含 $1$ 个元素的子集为 $\{1\}$, $\{2\}$, $\{3\}$, 共 $3$ 个;

(3) 含 $2$ 个元素的子集为 $\{1,2\}$, $\{1,3\}$, $\{2,3\}$, 共 $3$ 个;

(4) 含 $3$ 个元素的子集为 $\{1,2,3\}$ ($A$ 自身), 仅 $1$ 个.

综上可知, $A$ 的子集共 $8$ 个, 真子集共 $7$ 个 (真子集不能为 $A$ 自身).

方法二: 分别考虑 $A$ 中的各个元素是否出现在子集中, 列树形图可知, $A$ 的子集个数为 \[ 2\times 2\times 2= 2^3= 8,\] 真子集个数为 $7$.

方法三: 在集合 $\{\underline{\ \ }, \underline{\ \ }, \underline{\ \ }\}$ 中填数, 三条横线处分别填写 $1$, $2$, $3$ 或者保持空缺, 最后可以得到相应的子集. 例如, $\{1,\underline{\ \ }, \underline{\ \ }\}$ 对应子集 $\{1\}$, $\{\underline{\ \ },2, 3\}$ 对应子集 $\{2,3\}$. 再依次考虑三条横线处是填数还是空缺, 每次的决定都将已有子集数加倍, 由此可知, $A$ 的子集个数为 \[ 2\times 2\times 2= 2^3= 8,\] 真子集个数为 $7$.

利用方法二或方法三, 上述结论可以推广为: 含 $n$ 个元素的集合有 $2^n$ 个子集.

已知集合 $A=\{1,2\}$, \[ B=\{x\mid 0< x< 5, x\in\mathbf{N}\},\] 求分别满足下列条件的集合 $C$ 的个数:

(1) $A\subseteq C\subseteq B$;

(2) $A\subsetneqq C\subseteq B$;

(3) $A\subsetneqq C\subsetneqq B$.

参考答案

$B=\{1,2,3,4\}$, 则 (1) $C$ 的个数为 $\{3,4\}$ 子集的个数, 即为 $2^2=4$; (2) $C$ 的个数为 $\{3,4\}$ 非空子集的个数, 即为 $2^2-1= 3$; (3) $C$ 的个数为 $\{3,4\}$ 非空真子集的个数, 即为 $2^2-2=2$.