二项式定理 #

$(x+y)^n$ 表示二项式 $x+y$ 的 $n$ 次方. 先观察当 $n$ 较小时, 展开式的结构特点. 当 $n=2$ 时, \[\begin{aligned} (x+y)^2&= (x+y)(x+y)= x(x+y)+ y(x+y)\\ &= (x^2+xy)+ (yx+y^2)= x^2+ 2xy+y^2, \end{aligned}\] 这就是完全平方公式. 展开时主要利用分配律将前一个括号中的 $x,y$ 分别与后一个括号中的 $x,y$ 相乘, 所得 $4$ 个因式合并同类项后共 $3$ 项.

再来看当 $n=3$ 时的情形. 此时, 逐次用分配律再合并, \[\begin{aligned} (x+y)^3&= (x+y)(x+y)(x+y)\\ &= x(x+y)(x+y)+ y(x+y)(x+y)\\ &= [x^2(x+y)+ xy(x+y)]+ [yx(x+y)+ y^2(x+y)]\\ &= \cdots\\ &= x^3+ 3x^2y+ 3xy^2+ y^3. \end{aligned}\] 可以看出, 展开后得到 $8$ 个因式, 合并同类项后共 $4$ 项. 仔细观察上述过程, 可以看出每个因式都是从 $(x+y)(x+y)(x+y)$ 的各括号中分别选取 $x$ 或 $y$ 再相乘得到的, 从而可得如下规律:

(1) 每个因式均为 $3$ 次式, 且按 $x$ 的降幂排列为 \[ x^3,\quad x^2y,\quad xy^2,\quad y^3,\] 共 $4$ 项;

(2) 要得到 $x^3$, 相当于从每个括号中均取 $x$ 相乘, 即从 $3$ 个 $x$ 中取 $3$ 个 $x$, 共 $\mathrm{C}_3^3$ 种取法, 所以 $x^3$ 的系数为 $\mathrm{C}_3^3= 1$;

(3) 要得到 $x^2y$, 相当于从两个括号中取 $x$ 且从剩下的一个括号中取 $y$ 相乘, 即从 $3$ 个 $x$ 中取 $2$ 个 $x$, 共 $\mathrm{C}_3^2$ 种取法, 所以 $x^2y$ 的系数为 $\mathrm{C}_3^2= 3$;

(4) 类似地, $xy^2$ 的系数为 $\mathrm{C}_3^1= 3$, $y^3$ 的系数为 $\mathrm{C}_3^0= 1$.

由以上规律, $(x+y)^3$ 的展开式又可以写成 \[ \mathrm{C}_3^3 x^3+ \mathrm{C}_3^2 x^2y + \mathrm{C}_3^1 xy^2+ \mathrm{C}_3^0 y^3.\] 如果从取 $y$ 的个数来考虑, 上述展开式还可以写成 \[ \mathrm{C}_3^0 x^3+ \mathrm{C}_3^1 x^2y+ \mathrm{C}_3^2 xy^2+ \mathrm{C}_3^3 y^3.\] 同样的道理, 当 $n= 4$ 时, \[\begin{aligned} (x+y)^4&= \mathrm{C}_4^4 x^4+ \mathrm{C}_4^3 x^3y + \mathrm{C}_4^2 x^2y^2+ \mathrm{C}_4^1 xy^3 + \mathrm{C}_4^0 y^4\\ &= \mathrm{C}_4^0 x^4+ \mathrm{C}_4^1 x^3y + \mathrm{C}_4^2 x^2y^2+ \mathrm{C}_4^3 xy^3 + \mathrm{C}_4^4 y^4\\ &= x^4+ 4x^3y+ 6x^2y^2+ 4xy^3+ y^4. \end{aligned}\]

对一般的正整数 $n$, 将 $(x+y)^n$ 展开就得到二项式定理 \[ (x+y)^n= \mathrm{C}_n^0 x^n+ \mathrm{C}_n^1 x^{n-1}y + \mathrm{C}_n^2 x^{n-2}y^2+\cdots + \mathrm{C}_n^{n-1} xy^{n-1}+ \mathrm{C}_n^n y^n.\] 这里只按取 $y$ 的个数来列式 (与人教 A 版教材一致), 实际应用时, 也可以按取 $x$ 的个数来列式. 上式等号右边共 $n+1$ 项, 通常把第 $k$ 项记为 $T_k$, 则可以得到通项 (实为第 $k+1$ 项) 公式 \[ T_{k+1}= \mathrm{C}_n^k x^{n-k}y^k,\quad k= 0,1,\cdots,n.\] 注意, 因为 $y$ 的次方从 $0$ 开始, 所以比项数少 $1$, 如 $y^2$ 对应第 $3$ 项, 而 $y^6$ 对应第 $7$ 项.

从前面的推导过程, 还可以得到组合数的一个性质: 若正整数 $m,n$ 满足 $m\leqslant n$, 则 \[ \mathrm{C}_n^m= \mathrm{C}_n^{n-m}.\] 上式表明, 从 $n$ 个互异元素中取 $m$ 个元素的取法数与取 $n-m$ 个元素的取法数相等, 即取 $m$ 个元素就对应了取 $n-m$ 个元素. 例如, \[ \mathrm{C}_{10}^3= \mathrm{C}_{10}^7,\quad \mathrm{C}_{100}^{36}= \mathrm{C}_{100}^{64}.\]

\subsection{二项式定理的简单应用}

若二项式 $(x+a)^{10}$ 的展开式中, $x^7$ 的系数为 $15$, 求 $a$ 的值.

若二项式 $(1+2x)^n$ 的展开式中, $x^3$ 的系数等于 $x^2$ 的系数的 $4$ 倍, 求 $n$ 的值.

求 $(x-\sqrt2 y)^{10}$ 的展开式中 $x^6y^4$ 的系数.

求 $\biggl(\sqrt{x}- \dfrac2x\biggr)^6$ 的展开式中的常数项.

在 $(1-x)^5- (1-x)^6$ 的展开式中, 求含 $x^3$ 的项的系数.

\subsection{系数与二项式系数}

将关于 $x$ 的式子 $(x+a)^n$ 按二项式定理展开, 通项 (第 $k+1$ 项) 为 \[ T_{k+1}= \mathrm{C}_n^k x^{n-k} a^k = \mathrm{C}_n^k a^k x^{n-k}.\] 式中 $\mathrm{C}_n^k$ 称为第 $k+1$ 项的二项式系数, 而 $\mathrm{C}_n^k a^k$ 称为第 $k+1$ 项的系数, 即二项式系数仅为组合数. 例如, 将 $(x+2)^7$ 展开后, 含 $x^4$ 的项为 \[ \mathrm{C}_7^3 x^4\cdot 2^3= 8 \mathrm{C}_7^3 x^4,\] 所以这一项的二项式系数为 $\mathrm{C}_7^3$, 系数为 $8\mathrm{C}_7^3$.

已知 $\biggl(\sqrt{x}- \dfrac2x\biggr)^n$ 的展开式中第 $3$ 项的系数比第 $2$ 项的系数大 $162$, 求 $n$ 的值和展开式中含 $x^3$ 的项, 并指出该项的二项式系数.

关于 $x$ 的式子 $(x+a)^n$ 展开为 \[ \mathrm{C}_n^0 x^n+ \mathrm{C}_n^1 a\cdot x^{n-1}+\cdots +\mathrm{C}_n^{n-1} a^{n-1}\cdot x+ \mathrm{C}_n^n a^n,\] 记其二次项系数之和为 $P$, 系数之和为 $Q$, 则 \[\begin{gathered} P= \mathrm{C}_n^0+ \mathrm{C}_n^1+\cdots +\mathrm{C}_n^{n-1}+ \mathrm{C}_n^n,\\ Q= \mathrm{C}_n^0 a^0+ \mathrm{C}_n^1 a^1+\cdots +\mathrm{C}_n^{n-1} a^{n-1}+ \mathrm{C}_n^n a^n. \end{gathered}\] 对比展开式可知, 这两个式子均可以由 $(x+a)^n$ 得到: 令 $x=a=1$, 则 \[ P= (1+1)^n= 2^n;\] 令 $x=1$, 则 \[ Q= (1+a)^n,\] 即得到组合数的性质 \[\begin{gathered} \mathrm{C}_n^0+ \mathrm{C}_n^1+\cdots +\mathrm{C}_n^{n-1}+ \mathrm{C}_n^n= 2^n,\\ \mathrm{C}_n^0 a^0+ \mathrm{C}_n^1 a^1+\cdots +\mathrm{C}_n^{n-1} a^{n-1}+ \mathrm{C}_n^n a^n= (1+a)^n. \end{gathered}\] 例如, \[\begin{gathered} \mathrm{C}_8^0+ \mathrm{C}_8^1+\cdots +\mathrm{C}_8^7+ \mathrm{C}_8^8= 2^8,\\ \mathrm{C}_8^0+ 3\mathrm{C}_8^1+\cdots +3^7\mathrm{C}_8^7+ 3^8\mathrm{C}_8^8= 4^8. \end{gathered}\]

若 $(x+3y)^n$ 的展开式中各项系数之和等于 $(7a+b)^{10}$ 的展开式中各二次项系数之和, 求 $n$ 的值.

\subsection{二项式系数的性质}

将关于 $x$ 的式子 $(x+a)^n$ 按二项式定理展开, \[ (x+a)^n= \mathrm{C}_n^0 x^n+ a\mathrm{C}_n^1 x^{n-1} + a^2\mathrm{C}_n^2 x^{n-2}+\cdots + a^{n-1}\mathrm{C}_n^{n-1} x+ \mathrm{C}_n^n a^n.\] 在第 $k+1$ 项 $a^k \mathrm{C}_n^k x^{n-k}$ 中, 组合数 $\mathrm{C}_n^k$ 称为其二项式系数, 而 $a^k \mathrm{C}_n^k$ 称为其系数. 当 $a=1$ 时, 两者相等.

令 $x=a=1$, 则可得 \[ \mathrm{C}_n^0+ \mathrm{C}_n^1+\cdots +\mathrm{C}_n^{n-1}+ \mathrm{C}_n^n= 2^n.\] 现在考虑求其中奇数项的和与偶数项的和. 举一个具体的例子, 设 \[\begin{gathered} A= \mathrm{C}_{10}^0+ \mathrm{C}_{10}^2+\cdots +\mathrm{C}_{10}^{10},\\ B= \mathrm{C}_{10}^1+ \mathrm{C}_{10}^3+\cdots +\mathrm{C}_{10}^9, \end{gathered}\] 则 \[\begin{gathered} A+B = \mathrm{C}_{10}^0+ \mathrm{C}_{10}^1+\cdots +\mathrm{C}_{10}^{10}= 2^{10},\\ A-B = \mathrm{C}_{10}^0- \mathrm{C}_{10}^1+\cdots -\mathrm{C}_{10}^9+ \mathrm{C}_{10}^{10}= 0, \end{gathered}\] 后一式由前述展开式中令 $x=1$, $a=-1$ 得到. 进而可以解得 \[ A= B= \frac{2^{10}}2= 2^9.\] 一般地, \[\begin{aligned} 2^{n-1}&= \mathrm{C}_n^0+ \mathrm{C}_n^2+\mathrm{C}_n^4+\cdots\\ &= \mathrm{C}_n^1+ \mathrm{C}_n^3+\mathrm{C}_n^5+\cdots. \end{aligned}\] 前面的代入数值法也可以用于化简与二项式展开类似的式子.

由组合数的定义, 若正整数 $m,n$ 满足 $m\leqslant n$, 则 \[ \mathrm{C}_n^m= \mathrm{C}_n^{n-m},\] 即从 $n$ 个互异元素中取 $m$ 个元素对应了取 $n-m$ 个元素. 这是二项式系数的对称性. 再来看二项式系数的单调性. 先考虑一个具体的例子. 将 $\mathrm{C}_9^m$ 看成关于 $m$ 的函数 $f(m)$, 则由组合数和阶乘的计算公式, \[\begin{aligned} &f(m+1)- f(m)= \mathrm{C}_9^{m+1}- \mathrm{C}_9^m\\ ={}& \frac{9!}{(m+1)![9-(m+1)]!}- \frac{9!}{m!(9-m)!}\\ ={}& \frac{9!}{(m+1)!(9-m)!} [(9-m)- (m+1)]\\ ={}& \frac{9!}{(m+1)!(9-m)!} (8- 2m). \end{aligned}\] 由此可以看出, 当且仅当 $8-2m>0$ 即 $m< 4$ (或 $m\leqslant 3$) 时, $f(m+1)> f(m)$. 此时 $f(m)$ 单调递增, 也即 \[\begin{gathered} \mathrm{C}_9^0< \mathrm{C}_9^1< \mathrm{C}_9^2 < \mathrm{C}_9^3< \mathrm{C}_9^4= \mathrm{C}_9^5,\\ \mathrm{C}_9^5> \mathrm{C}_9^6> \mathrm{C}_9^7 > \mathrm{C}_9^8> \mathrm{C}_9^9. \end{gathered}\] 换句话说, 随 $m$ 的增加, $f(m)= \mathrm{C}_9^m$ 的值先增后减, 且在中间取最大值 (这里 $\mathrm{C}_9^4$ 和 $\mathrm{C}_9^5$ 都是最大值). 这一点从二项式系数的对称性也能部分体现. 同样地, 对组合数 $\mathrm{C}_{100}^m$, 最大的是 $\mathrm{C}_{100}^{50}$ (仅一个); 对组合数 $\mathrm{C}_{101}^m$, 最大的是 $\mathrm{C}_{101}^{50}$ 和 $\mathrm{C}_{101}^{51}$ (两者相等).

\subsection{二项式系数的性质的简单应用}

在 $(1+x)^n$ 的展开式中, 若只有 $x^5$ 的系数最大, 求 $n$ 的值.

若上题改为“若 $x^5$ 的系数最大”, 则需要利用对称性分类讨论:

(1) 当仅有 $x^5$ 的系数最大时, $n=10$.

(2) 当 $x^4, x^5$ 的系数同时最大时, 前面有 $x^0, x^1, \cdots, x^3$ 共 $4$ 项, 所以后面也有 $4$ 项, 共 $10$ 项. 这时 $n+1 = 10$, 即 $n=9$.

(3) 当 $x^5, x^6$ 的系数同时最大时, 同样的分析可以知道, $n=11$.

若实数 $a= 2-\sqrt2$, 求值: \[ a^{10}- 2\mathrm{C}_{10}^1 a^9 + 2^2\mathrm{C}_{10}^2 a^8-\cdots + 2^{10}.\]

已知 $(1+2\sqrt{x})^n$ 的展开式中, 某一项的系数恰好是它前一项的系数的 $2$ 倍, 且是它后一项的系数的 $\dfrac56$, 求展开式中二项式系数最大的项.