二项分布 #
某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同, 且在两次罚球中至多命中一次的概率为 $\dfrac{16}{25}$, 求该队员每次罚球的命中率.
设该队员每次罚球的命中率为 $p$. 因为“在两次罚球中至多命中一次”的反面, 即互斥事件, 是“在两次罚球中两次都命中”, 所以前者的概率为 \[ 1- p^2= \dfrac{16}{25}\Rightarrow p= \frac35.\]
甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球, 命中率分别为 $\dfrac12$ 与 $p$, 且乙投球 $2$ 次均未命中的概率为 $\dfrac1{16}$.
(1) 求乙投球的命中率 $p$;
(2) 若乙投球 $2$ 次, 命中的次数记为 $Y$, 求 $Y$ 的分布列.
(2) 若甲投球 $1$ 次, 乙投球 $2$ 次, 两人共命中的次数记为 $X$, 求 $X$ 的分布列.
(1) 由题意, \[ (1-p)^2= \dfrac1{16}\Rightarrow p= \dfrac34.\]
(2) 作树形图可知, \[\begin{aligned} P(Y=0)&= (1-p)^2= \dfrac1{16},\\ P(Y=1)&= p(1-p)+ (1-p)p= \dfrac38,\\ P(Y=2)&= p^2= \dfrac9{16}, \end{aligned}\] 所求 $Y$ 的分布列为 \[\begin{array}{c|ccc} Y & 0 & 1 & 2\\ \hline P(Y) & \dfrac1{16} & \dfrac38 & \dfrac9{16}\phantom{\biggr|} \end{array}\]
(3) 记甲命中的次数为 $Z$, 则 $X= Z+Y$. 注意, $Z$, $Y$ 均为非负整数, 且 \[ 0\leqslant Z\leqslant 1,\quad 0\leqslant Y\leqslant 2.\] 作树形图可知, \[\begin{aligned} P(X=0)&= P(Z=0)P(Y=0)= \frac12\cdot\dfrac1{16}= \dfrac1{32},\\ P(X=1)&= P(Z=1)P(Y=0)+ P(Z=0)P(Y=1)\\ &= \frac12\cdot\dfrac1{16}+ \frac12\cdot\dfrac3{8} = \dfrac7{32},\\ P(X=2)&= P(Z=0)P(Y=2)+ P(Z=1)P(Y=1)\\ &= \frac12\cdot\dfrac9{16}+ \frac12\cdot\dfrac38 = \dfrac{15}{32},\\ P(X=3)&= P(Z=1)P(Y=2)= \frac12\cdot\dfrac9{16}= \dfrac9{32},\\ \end{aligned}\] 所求 $X$ 的分布列为 \[\begin{array}{c|cccc} X & 0 & 1 & 2 & 3\\ \hline P(X) & \dfrac1{32} & \dfrac7{32} & \dfrac{15}{32} & \dfrac9{32}\phantom{\biggr|} \end{array}\]