平均值与方差 #
某学校共有师生 $4\,000$ 人, 现用分层随机抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为 $200$ 的样本, 调查师生对学校食堂餐饮问题的建议, 已知从学生中抽取的人数为 $190$, 求该校的教师人数.
分层随机抽样是将总体分为若干类 (各类数量可以不相等), 从每类中抽取的样本数与该类的个体数成比例, 此比例也是样本数与总体数的比例 (为什么?). 从师生 $4\,000$ 人中抽取容量为 $200$ 的样本, 说明抽样比例是 $200:4\,000$, 而从学生中抽取 $190$ 人, 说明从教师中抽取 $(200-190)$ 人. 设该校的教师有 $x$ 人, 由题意, \[200: 4\,000= (200-190): x,\] 解得 $x=200$.
演讲比赛共有 $9$ 位评委分别给出某选手的原始评分, 评定该选手的成绩时, 从$9$ 个原始评分中去掉 $1$ 个最高分、$1$ 个最低分, 得到 $7$ 个有效评分. 将这 $7$ 个有效评分与 $9$ 个原始评分相比, 考虑数字特征: 平均数、方差、中位数和极差, 不变的有哪些?
题中的四个数字特征, 平均数由总分除以人数得到, 方差描述的是全体数据相对平均数的总偏差, 中位数指数据从小到大排列时正中间的那个值, 极差由最大值减最小值得到. 因为去掉 $1$ 个最高分、$1$ 个最低分, 所以只有中位数不受影响. 此外, 极差很可能变小.