向量的内积 #
已知正方形 $ABCD$ 的边长为 $2$, 点 $E$ 为 $AB$ 的中点, 点 $P$ 为对角线 $BD$ 上的动点, 求 $\overrightarrow{PE}\cdot\overrightarrow{PC}$ 的取值范围.
以点 $B$ 为原点, $BC$ 为 $x$ 轴, $BA$ 为 $y$ 轴, 建立平面直角坐标系 (建议作图帮助理解), 则 $E(0,1)$, $C(2,0)$. 由题意可设 $P(p,p)$, 其中 $p\in[0,2]$, 则 \[\overrightarrow{PE}\cdot\overrightarrow{PC} = (-p,1-p)\cdot(2-p,-p) = 2p^2-3p.\] 结合二次函数单调性知, $\overrightarrow{PE}\cdot\overrightarrow{PC} \in \biggl[-\dfrac98,2\biggr]$.
已知向量 $\bm{a}$, $\bm{b}$ 的夹角为 $\dfrac{2\pi}3$, $|\bm{a}|=1$, $|\bm{b}|=2$. 若 $2\bm{a}-\bm{b}$ 与 $t\bm{a}+\bm{b}$ 垂直, 求 $t$ 的值.
由题意, $\bm{a}^2= 1$, $\bm{b}^2= 4$, $\bm{a}\cdot\bm{b}= -1$, \[(2\bm{a}-\bm{b})(t\bm{a}+\bm{b})=0,\quad\text{即}\quad 2t\bm{a}^2+(2-t)\bm{a}\cdot\bm{b}- \bm{b}^2=0,\] 解得 $t= 2$.